La géométrie du compas de Lorenzo MASCHERONI.

Et hop, un peu plus de savoir sur ce blog. Des maths et encore des maths.

Lorenzo Mascheroni démontra que les constructions géométriques à la règle et au compas des Eléments d'Euclide pouvaient se faire à l'aide du seul compas. Son chef d'oeuvre, "la géométrie du compas", eut pour propagandiste un jeune général victorieux.

Rares sont les mathématiciens chantés par un grand poète. L'élégie du poète italien Vincenzo Monti à la mémoire de Lorenzo Mascheroni, "insigne matematico, leggiadro poeta ed ottimo cittadino" perpétue pour l'histoire l'image de cet ecclésiastique poète et géomètre, philologue et député révolutionnaire, qu'admirait Napoléon.

A. M. Carette, le traducteur de la Géométrie de Compas, narre, dans la notice biographique qu'il consacre à Mascheroni, la célèbre anecdote sur les mathématiques et Napoléon.

"Lors de l'entrée des Français en Italie, Mascheroni fut nommé membre du corps législatif de la république Cisalpine; mais, tout en exerçant ses nouvelles fonction avec le plus grand zèle, il n'en continuait pas moins à se livrer à l'étude des sciences mathématiques. Mascheroni publia à Pavie, en 1797, la Géométrie du Compas.

C'était dans les derniers moments du séjour de Bonaparte en Italie. Le général, qui accueillait avec plaisir les savants italiens, avait vu souvent Mascheroni, et s'était entretenu plusieurs fois avec lui de la Géométrie du Compas. Le 10 décembre 1797, Bonaparte fut invité par François de Neufchâteau à une nombreuse réunion composée de savants et de gens de lettes, tous membres de l'Institut. Le général les étonna tous, dit le Moniteur du temps, par la variété et l'étendue de ses connaissances. Lagrange et Laplace faisaient partie de la réunion, et il leur fit connaître la Géométrie du Compas, ouvrage alors tout nouveau et inconnu en France, en leur donnant la solution de quelques-uns des problèmes qui se trouvent dans cette production originale. Après avoir écouté Bonaparte avec attention, Laplace, lui dit en présence de tous les savants réunis autour d'eux : "Nous attendions tout de vous, général, excepté des leçons de mathématiques."

Bonaparte a-t-il parlé, lors de la cérémonie du 20 frimaire an VI, du problème de Mascheroni, connu, de nos jours, sous le nom de Problème de Napoléon? En avait-il une démonstration personnelle? La légende forgée par les hagiographes de l'empereur empêche toute réponse pertinente à ces questions. Mascheroni, en tous cas, avait dédié son ouvrage Geometria des Compasso à Bonaparte, "le libérateur", dédicace qui disparut d'ailleurs de la seconde édition de 1828.

Mascheroni appelle géométrie du compas "celle qui, par le moyen du compas seulement, et sans le concours de la règle, détermine la position des points." Il est bien sûr impossible de tracer une droite avec le seul compas. Ce qui importe est l'obtention des points d'une figure. Construire une droite, pour Mascheroni, est donc un problème résolu dés que l'on a obtenu deux de ses points.

Sa thèse affirme que toute construction (de points) effectuée avec un compas et une règle (non graduée) peut l'être avec le seul compas. La gloire posthume de Mascheroni fut estompée en 1928 par la découverte inopinée, chez un bouquiniste de Copenhague, d'une brochure intitulée Euclides Danicus éditée en 1672 à Amsterdam. Le mathématicien Johannes Hjelmslev, qui l'avait mise à jour, y découvrit avec surprise un traitement, certes obscur, mais complet, de la thèse revendiquée par Mascheroni.

L'auteur Georg Mohr, ayant écrit son opuscule en danois, et en allemand, et non en latin comme c'était la coutume de son époque, cette découverte n'eut aucun retentissement. Voilà pourquoi l'énoncé moderne "Tout point constructible à la règle et au compas est en fait constructible avec le compas seulement" porte le nom de Théorème de Mohr-Mascheroni.

La lecture de La géométrie du Compas, reconnaissons-le s'avère malaisée, les figures y sont trop rares et les démonstrations inutilement compliquées, mais plonger dans l'une de ces démonstrations offre un plaisir d'archéologue. On finit par admirer l'ingéniosité de l'auteur, dont la plupart des 274 problèmes sont intéressants et stimulants.

Curieusement toutes les constructions à la règle et au compas se résument à trois types de réalisations :

1) Construire les intersections de deux cercles, donnés par leurs centres et leurs rayons;

2) Construire les intersections d'un cercle, donnée par son centre et son rayon, et d'une droite donnée par deux points;

3) Construire les intersections de deux droites, données chacun par deux points;

A partir d'elles, on saura venir, théoriquement, à bout de toute construction à la règle et au compas. Démontrer le théorème de Mohr-Mascheroni revient donc à montrer que ces trois premières constructions sont réalisables au seul compas.

Si on se convainc aisément du bien-fondé des constructions, on voit aussi que la difficulté et la longueur des preuves sont inversement proportionnelles au nombre d'instruments disponibles.

Je sais je suis un vilain mais il faut me comprendre j'ai gravement faim.

Bonn appétit à vous d'ailleurs.