Le triangle et les lapins de Fibonacci

C'est avec les célèbres lapins de Fibonacci que se poursuit la série des plus grandes découvertes mathématiques de tous les temps.

Né à Pise, Fibonacci (1170-1240), dit Léonard de Pise, fut le plus grand des mathématiciens du Moyen-âge. De ses voyages dans le Maghreb et l'Empire byzantin, il rapporta la numération  décimale et les chiffres arabes dont il démontra l'efficacité, de retour à Pise en 1202, dans Liber Abaci (livres des abaques).

Comme le souligne Martin Gardner, il s'en est fallu de peu que Fibonacci ne tombe dans l'oubli, malgré sa contribution fondamentale aux mathématiques. C'est l'arithméticien français Edouard Lucas (1842-1891) qui "redécouvrit" le Liber Abaci et par là même la suite du célébrissime. Le problème des "lapins" apparaît pour la première fois dans la troisième section  du livre. Fibonacci y jette les bases de l'analyse de sa suite, sous couvert d'une récréation décrivant la croissance d'une population de lapins.

L'analyse de la fameuse suite :

Dans le problème, "Un homme place un couple de lapins dans une très grande cage. Combien de couples de lapins obtiendra-t-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un et un seul nouveau couple à compter du second mois de son existence?", le n-ième terme correspond au nombre de paire de lapins à l'issue du n-ième mois.

* au début du premier mois, il y a juste un couple de lapins qui vient de naître;

* tout couple n'est fécond qu’à partir du deuxième mois de vie;

* chaque fin de mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement un nouveau couple de lapins.

* enfin, on suppose que les lapins ne meurent jamais.

Notons Fn le nombre de couples de lapins au début du mois n. Jusqu'au deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu'on note F1 = F2 = 1). Dès la fin du deuxième mois, le couple de lapins peut engendrer un autre couple de lapins. On a alors F3 = 2.

Résoudre l'énigme, c'est trouver F13, nombre de couples au début du 13e mois (ou à la fin du 12e, comme le demande Fibonacci).

Plaçons-nous maintenant au début du mois n +2 :

Le nombre Fn+2 des couples de lapins présents sera la somme des couples présents sera la somme des couples présents au début du mois n + 1 et des couples nouvellement engendrés (à la fin du mois n + 1).

Or, n'engendrent que les couples pubères, c'est à dire ceux qui existaient au début du mois n. D'où la fameuse relation :

Fn+2 = Fn+1 + Fn

Nous obtenons ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents.

Les premières valeurs des nombres de Fibonacci, dans l'ordre croissant en commençant avec n = 1,

Sont donc :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711 ...

La réponse à la question initiale du nombre de paires de lapins après 12 mois est donc 233.

Triangle de Pascal, nombre d'or et suite de Fibonacci.

Cette suite s'est avérée posséder des développements d'une richesse incroyable, dont vous trouverez un échantillon plus loin dans l'article.

On va en retenir deux.

Le premier la relie au thème de ce dossier. Voici comment on retrouve les nombres de Fibonacci dans le triangle de Pascal, à l'aide d'une relation qui n'est pas la moins intrigante : la somme des nombres de la n-ième diagonale du triangle fournit la valeur de Fn!

L'autre propriété bien particulière de la suite et de ses composants apparaît lorsque l'on cherche à trouver Fn en fonction de n ou lorsque l'on examine le rapport entre 2 termes consécutifs de la suite (Fn+1/Fn) lorsque n augmente.

8/5 = 1.6. 13/8 = 1.625. 21/13=1.61538462. ...

Le rapport tend vers ... le nombre d'or, or, comme l'a démontré Kepler (157 - 1630).

On rappelle en effet que la valeur approchée!! de or  est:

1.618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072

On peut le démontrer en cherchant à établir une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci.

En effet, les suites vérifiant la relation de récurrence

un+2 = un+1 + un forment un espace vectoriel de dimension 2, c'est à dire qu'elles sont "combinaisons linéaires" de deux seulement d'entre elles. Or, il est facile de trouver deux suites "géométriques" vérifiant cette relation.

En posant un = xn, on voit que x est racine d'une équation caractéristique du second degré :

x2-x-1 = 0,

Dont les racines sont le nombre d'or or et un deuxième nombre µ dont la valeur absolue est plus petite que 1. Fn est donc de la forme

Fn = Aorn + Bµn

On obtient, après calcul tenant compte des conditions initiales

F1 = F2 = 1, l'expression fonctionnelle recherchée, qui porte le nom de formule de Binet :

La suite de Fibonacci a trouvé de nombreuses généralisations, présentes dans de nombreux domaines, des sciences physiques aux sciences de la nature : elle n'a pas finit de fasciner les hommes.

Voici un article qui va faire plaisir au brillant cerveau d'une caro-alice