Pour les terminales S : Exercice pour les vacances

Un exercice des années 60, niveau terminale S de l'époque .(math-élem.)
( il s'agit de la définition d'une fonction que vous allez reconnaître)
Définition d'une application de $]0\,,\,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$ .
Partie I - Des racines ...
A tout $x\,>\,0$ on associe la suite $(w_{n})$ définie par $w_{0}\,=\,x$ et $\forall\,n\in\mathbb{N}\;w_{n+1}=\sqrt{w_{n}}$
1. Etudier le cas x=1

.
2. Soit $(w_{n})$ et $(w_{n}^{'})$ les suites ainsi associées à 2 réels

et $x^{'}$ , et $\large W_{n}$ celle associée au produit xx{'}

. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\;\large W_{n}$ $=w_{n}w_{n}^{'}$ .
3. Soit $w_{n}$ et $w_{n}^{'}$ les suites ainsi associées à

et $\frac{1}{x}$ . Montrer que : $\forall\,n\in\mathbb{N}\;w_{n}^{'}=\frac{1}{w_{n}}$ .
4. On suppose ici que $x\,>\,1$ . Montrer que $w_{n}$ est minorée par 1, décroissante, convergente vers 1.
5. Déduire du I.3 le comportement de $w_{n}$ quand $x\,>\,1$ .
En conclusion : $\forall\,x\,>\,0\;\;w_{n}$ est convergente vers 1.
Partie II - Etude numérique d'une seconde suite
A tout $x\,>\,0$ on associe la suite $(t_{n})$ définie par $\forall\,n\in\mathbb{N}\;t_{n}=2^{n}(w_{n}-1)$ .
1. Quelle aide le cours sur "convergence et opérations" apporte-t-il à l'étude de la suite $t_{n}$ ?
2. Démontrer que $\forall\,n\in\mathbb{N}\;t_{n+1}=\frac{2t_{n}}{1+w_{n+1}}$ .
(On pourra utiliser une astuce de "quantité conjuguée").
3. Voici un algorithme :
$A_{1}$ données N, W
$T\longleftarrow 2^{N}(W-1);\\\text{noter}\,N\,,\,T\\N\longleftarrow N+1;\\W\longleftarrow\sqrt{W}$
$A_{2}$ données N, W, T
$W\longleftarrow\sqrt{W};\\T\longleftarrow\frac{2T}{W+1};\\N\longleftarrow N+1;\\\text{noter}\,N\,,\,T$
a. Expliquer en quoi $A_{1}$ ou $A_{2}$ peut permettre de construire un tableau de la suite $(t_{n})$ . (Etudier ce qui se passe quand les données sont N=n

) et $W=w_{n}$ dans $(A_{1})$ , N=n

, $W=w_{n}$ et $T=t_{n}$ dans $(A_{2})$ .
b Seulement si ça vous intéresse : Essayez de trouver en quoi un des 2 algorithme est préférable à l'autre.
c. Conjecturer sur ce tableau des propriétés de $(t_{n})$ .
Partie III - Où on lève l'indétermination
1. Montrer que $(t_{n})$ est décroissante.
2. On suppose ici que x>1. Montrer que $(t_{n})$ est convergente.
3. Soit $(t_{n})$ et $(w_{n})$ les suites associés à

, $(t_{n}^{'})$ et $(w_{n}^{'})$ celles associées à $\frac{1}{x}$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\;\;t_{n}^{'}=\frac{-t_{n}}{w_{n}}$ .
4. En déduire que pour $x\,<\,1$ , $(t_{n})$ est convergente.
Conclusion : Pour tout $x\,>\,0$ , la suite $(t_{n})$ est décroissante et convergente vers un réel qu'on notera l(x)

.
On définit alors une application :
$l\,:\,\mathbb{R}_{+}^{*}\,\longleftarrow\,\mathbb{R}$ .
Partie IV - Propriétés de l'application

1. Montrer que l(1)=0

.
2. Soit $(t_{n})$ et $(w_{n})$ les suites associées à

, $(t_{n}^{'})$ et $(w_{n}^{'})$ celles associées à

, $W_{n}$ et $T_{n}$ celles associées à

. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\;\;t_{n}=t_{n}w_{n}^{'}+t_{n}^{'}$ .
3. En déduire que $\forall x\,>\,0\; y\,>\,0\;\;l(xy)=l(x)+l(y)$ .
4. Montrer que

est une application croissante sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ (On pourra, pour $x\,<\,x'$ , poser x'=xy

avec $y\,>\,1$ et utiliser la question IV.2).
Partie V - Construction approchée de la courbe représentative de

1. Montrer que pour tout $x\,>\,0$ et pour tout entier naturel

, on a $l(x)\,\leq\,t_{n}$ .
2. En déduire que pour tout $x\,>\,0$ et pour tout entier naturel

, $\frac{t_{n}}{w_{n}}\,\leq\,l(x)\,\leq\,t_{n}$ .
3. Avec pour tout n=10

et les outils numériques du II, quels encadrements obtient-on ainsi pour $l(2)\,,\,l(3)\,,\,l(5)\,,\,l(7)\,,\,l(11)$ ?
4. Ebaucher sur une figure soignée l'allure de la courbe représentative de