Deux Preuves que Dieu n'existe pas !
Et oui, dans cette page je vous donne non pas une, mais deux preuves différentes que Dieu ne peut pas exister, si l'on en croit les règles de la logique mathématique ! En effet, Dieu est, selon toutes les religions,un être omniscient (c'est à dire qui peut tout savoir). Or je vais démontrer ici qu'il est impossible de connaître toutes les vérités !Il n'y a pas d'être omniscients
OK, ce raisonnement est un peu "perché" parce qu'il fait intervenir la notion de puissance d'un ensemble infini. Cette notion, due à Georg Cantor, un mathématicien allemand, est très subtile : deux ensembles ont la même "puissance" si l'on peut mettre leurs éléments en correspondance biunivoque, c'est à dire si à tout élément du premier ensemble, on peut associer un unique élément du second ensemble, et réciproquement. Cantor a démontré que, pour tous les ensembles E (finis ou infinis) non vides, l'ensemble des parties de E, noté P(E), a forcément une puissance strictement supérieure à celle de E.
Par exemple, l'ensemble des parties de l'ensemble N des nombres entiers positifs a une puissance strictement supérieure à celle de N : on demontre que p(N) a la même puissance que l'ensemble des points d'une droite, que l'on appelle "puissance du continu". Cantor a donc prouvé qu'il y avait plusieurs types d"infinis, et même... Une infinité de tels types !
Montrons donc qu'il ne peut exister un ensemble de toutes les vérités.
Le raisonnement, dû à Patrick Grim, est le suivant : s'il existe un ensemble de toutes les vérités, appellons-le V. V est évidemment un ensemble infini.
A partir de cet ensemble V, on peut former l'ensemble de ses parties, P(V). L'un des élements de P(V) est par exemple {2 est premier, 3 est pair, la terre est ronde}
Considérons alors un couple (v, p) formé d'un élément quelconque v de V et d'un élement quelconque p de P(V). La question se pose alors : est-ce que v ∈ p ?
En fait à partir de ce couple (v,p) on peut former les deux propositions : "v appartient à p" et "v n'appartient pas à p". L'une de ces deux propositions est forcément vraie. Donc il y autant de vérités que de couples (v,p) c'est à dire en fait d'élements de P(V) puisque V est inclu dans P(V). Or cela est impossible selon Cantor, puisque la puissance de P(V) est strictement supérieure à celle de V.
D'où contradiction, et donc notre hypothèse de départ "il existe un ensemble V de toutes les vérités" est fausse... Et donc aucun être ne peut connaître toutes les vérités : il n'y a pas d'être omniscient !
On ne peut connaître toutes les vérités, ou alors tout le monde les connaît !
Un second raisonnement, plus subtil mais en fait plus simple et ne faisant pas intervenir les ensemble infinis, porte le nom de paradoxe de Fitch. Il montre que si ce qui est vrai est connaissable (par quelqu'un), alors tout ce qui est vrai est connu (par ce même quelqu'un), en d'autre terme que s'il existe un être omniscient, alors tout le monde l'est ! Et donc, comme je ne suis pas omniscient, personne ne peut l'être, même pas Dieu...Dans ce raisonnement on va utiliser la logique modale, une logique qui fait appel à des modalités qui changent le sens des propositions logiques (telles la négation).
Qu'est ce qu'une modalité ? c'est un ajout très utile à la notion de mathématique de "vérité". Il se peut (et en fait c'est certain) qu'il existe des vérités qui ne sont pas universelles, mais qui dépendent du contexte dans lequel on les affirme. Par exemple ce qui est vrai pour une personne peut être différent pour une autre personne qui possède d'autres croyances. La logique modale, c'est précisément la formalisation mathématique de cette notion de croyance.
Pour notre démonstration, nous allons utiliser trois modalités : (n'ayez pas pas peur de ces lettres grecques : elles sont juste des notations que j'utiliserai pour raccourcir et simplifier les étapes du raisonnement). Dans ce qui suit, "p" et "q" sont des propositions logiques, c'est à dire des affirmations qui seront ou bien vraies, ou bien fausses, et "p => q" signifie "p implique q".
∏ p signifiera "il est possible que p soit vraie"
Δ p signifiera "il est connu (par tous les êtres pensants) que p soit vraie"
¬ p signifiera "p est fausse"
Pour utiliser cette logique modale il nous faut quelques règles, posées comme axiomes :
-
L'implication "=>" et l'équivalence "<=>"
fonctionnent avec des formules modales comme avec les formules
"classiques" non modales.
En particulier (p => q) <=> (¬p ou q) comme en logique classique, et bien sûr ¬¬p <=> p
C'est quelque chose que, intuitivement, on est forcé d'admettre, sinon à quoi servirait la logique ? - p => ∏Δp c'est à dire si p est vraie alors il est possible que p soit connue. Cela semble être du bon sens.
-
Δ(a et b) => (Δa et Δb) c'est
à dire que s'il est connu que "a et b" est vraie, alors il
devient connu que a est vraie et que b est vraie.
Là aussi, c'est "évident". - Δp => p c'est à dire si quelqu'un sait que p est vraie alors p est vraie (en logique, il n'y a pas de menteurs !)
- ¬p => ¬∏ p c'est à dire que
si p est fausse alors il n'est pas possible que p soit vraie (ce qui
est aussi du bon sens !)
d'après la définition de l'implication, cette règle s'écrit aussi : - p ou ¬∏ p c'est à dire soit p est vraie, soit il n'est pas possible que p soit vraie. Mais l'une de ces deux propositions est forcément vraie. Là aussi, c'est du bon sens.
-
¬∏Δ p => ¬p c'est à dire que
s'il n'est pas possible que p soit connue, c'est que p est fausse.
En fait cette règle se déduit de la règle (2) par contraposition car (¬A=>¬B) <=> (B => A)
Posons comme première hypothèse que l'on dispose d'une proposition p telle que Δ(p et ¬Δp) c'est à dire qu'il est connu que p est à la fois vraie et inconnue. Cela semble contradictoire et nous allons effectivement le prouver. En appliquant la règle (3) ci dessus à partir de notre hypothèse, nous obtenons (Δp et Δ¬Δp)
A l'aide de la règle 4, nous transformons ceci en (Δp et ¬Δp) ce qui est contradictoire. (Une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse !).
Donc la proposition Δ(p et ¬Δp) est fausse, quelle que soit la proposition p. Cela va nous servir pour la suite.
Posons alors l'hypothèse que l'on dispose d'une proposition p qui soit à la fois vraie et non connue. C'est à dire que l'on a "p et ¬Δp", que l'on peut aussi interpréter comme "p est connaissable mais pas encore connue". Nous allons voir que cela a des conséquences surprenantes.
Appliquons la règle (2) à "p et ¬Δp", nous obtenons : ∏Δ(p et ¬Δp), une expression un peu compliquée. Mais regardez ce qui suit le symbole ∏ : "Δ(p et ¬Δp)".
Cette expression ne vous rappelle rien ? Si, c'est celle dont nous avons établi tout alors qu'elle était toujours fausse ! Si nous appellons q cette expression "Δ(p et ¬Δp)" toujours fausse, cela signifie que ¬q est vraie donc selon la règle (6) que ¬∏q. Redonnons sa valeur à q, nous avons ¬∏Δ(p et ¬Δp). Et d'après la règle (7) (ou la règle 2 contraposée), nous avons donc ¬ (p et ¬Δp) c'est à dire (¬ p ou ¬ ¬ Δp) c'est à dire (¬ p ou Δp) c'est à dire encore : p=>Δp
Résumons : on vient de démontrer que (p et ¬Δp) => ( p=>Δp) c'est à dire que si on dispose d'une proposition p connaissable mais pas encore connue, en fait elle est connue par tout les êtres pensants. Donc tout le monde est omniscient. Si vous trouvez cela contradictoire, c'est que notre hypothèse de départ "(p et ¬Δp)" est toujours fausse, c'est à dire qu'il n'y a pas de vérité inconnue, ce qui est tout aussi contradictoire !
En résumé, soit tout le monde connaît toutes les vérités, soit il est impossible qu'un être pensant connaisse toutes les vérités.
Et donc comme je ne ne connais pas tout, Dieu non plus !
Résumons-nous
On vient de prouver, par deux méthodes différentes mais reposant sur la seule logique mathématique, qu'il ne peut exister un être omniscient Comme Dieu est supposé être omniscient, je vous laisse conclure....< Retour à la page "philosophie" de mon site.
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