Comme presque tous les "matheux", j'ai une philosophie réaliste : je crois que les maths existent, et ont toujours existé, et que nous ne faisons que les découvrir.
Pourtant je suis conscient que ce point de vue est parfois difficilement tenable : ainsi l'idée selon laquelle il devrait exister des nombres "naturels" se heurte à la difficile définition de ce que c'est un nombre naturel ; la formalisation (nécessaire ?), la construction très artificielle (à mon avis) en nombres entiers, rationnels, réels, complexes, etc, introduit des pièges redoutables et même parfois des paradoxes.
Il en va de même pour la théorie des ensembles, pourtant le pilier des maths contemporaines,
à tel point qu'il n'existe aucun consensus actuellement sur ce que
sont les "vrais" ensembles. De même, ça vous surprendra peut-être
mais il n'existe pas une définition unique des nombre entiers en termes
d'ensembles ! L'axiomatisation est une solution qui porte en germe ses propres
problèmes : ainsi si l'on accepte l'axiome du choix, on peut prouver
que l'ensemble des nombres réels doit posséder un "bon ordre",
c'est à dire un ordre tel que toute partie de l'ensemble possède
un plus petit élément. Or la relation d'ordre naturelle "<"
n'est pas un tel "bon ordre" (par exemple l'intervalle ouvert ]0, 1] ne possède
pas de plus petit élément). Personne n'a jamais pu trouver
un tel bon ordre... et on doute qu'il existe en fait !
Mais il y a pire : La notion de "vérité" devrait être
la clé de toutes les mathématiques : on devrait pouvoir établir
qu'une proposition est vraie ou fausse. Or Gödel a montré que
toute théorie axiomatique incluant (au moins) l'arithmétique
élémentaire, et qui se veut non contradictoire est nécessairement
incomplète, c'est à dire qu'il existera des formules vraies
qu'on ne pourra pas démontrer dans la théorie. Bigre !
Je crois que nous sommes victimes de blocages mentaux inconscients, et que
pour surpasser tous ces problèmes il faut réellement remettre
à plat toutes nos certitudes, conscientes et inconscientes.
Dans ce chapitre, vous verrez certaines tentatives que je fais en ce sens.
Soyez indulgent, ce n'est pas un travail facile ! Mais c'est en même
temps (j'espère) très amusant. Alors ... entrez,
le jeu en vaut la chandelle !
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