294 – une solution au paradoxe de russell : la prematiere

EXTRAITS DE WIKIPEDIA

Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci. Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903.

On peut formuler le paradoxe ainsi : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction à nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l'existence d'un tel ensemble paradoxal.
Le paradoxe utilise très peu de propriétés de l'appartenance, une relation binaire suffit, ce qui a permis à Bertrand Russell de l'illustrer sous la forme plus imagée, mais qui a la même structure, du paradoxe du barbier. Un barbier se propose de raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier doit-il se raser lui même ? L'étude des deux possibilités conduit de nouveau à une contradiction. On résout le problème en affirmant qu'un tel barbier ne peut exister (ou, en jouant sur les mots, qu'il n'est pas un homme), ce qui ne surprendra personne : il n'y a pas vraiment de paradoxe. Plus exactement la démonstration qui précède constitue justement une démonstration de la non-existence d'un tel barbier.

COMMENTAIRES

1 – Pour éclaircir le paradoxe on peut le reformuler de la façon suivante : l’ensemble de tous les ensembles peut-il s’appartenir à lui-même comme ensemble ?
On n’a jamais à ma connaissance abordé le paradoxe de Russell sur le mode spatial. Il repose sur le dilemme suivant : il s’agit d’un ensemble qui serait à la fois intérieur et extérieur à lui-même. Cet ensemble est très exactement situé sur une ligne frontière indéfiniment repoussée car toujours se surajoutant à lui-même pour se clore. Il faut le comprendre comme une entité spatiale, mais impossible à concevoir dans le réel, comme un processus dynamique constant d’auto-englobement. Un tel ensemble serait à la fois contenant et contenu ; contenu composé des sous-ensembles et de lui-même se contenant comme « forme », réceptacle. Cet ensemble ne peut donc exister si on se réfère à un principe de compréhension tel qu’il fut défini par Zermelo.

2 - Mais en est-il de même pour l’espace lui-même ? Traditionnellement, l’espace est appréhendé comme un cadre vide. Le contenant c’est l’espace et son contenu : les corps.
L’espace comme lieu du vide enfermerait les corps, mais qu’en serait-t-il d’un espace plein d’autre chose que la matière, et en l’espèce d’une substance, celle de la prématière ? Nous changeons complètement de registre explicatif, l’espace se contiendrait lui-même, il serait un contenant comme cadre spatial, mais aurait un contenu : celui de la prématière. Ici contenant et contenu, sont confondus et puisqu’il ne saurait y avoir de bord, de limite à l’espace infini, on ne peut envisager une extériorité. Intérieur et extérieur n’auraient d’ailleurs aucun sens puisque se justifiant mutuellement. Il n’y a en effet d’intériorité que relativement à une limite externe et d’extériorité que par rapport à un espace interne.

Dès lors, l’ensemble FINI-INFINI de toute la prématière universelle se contiendrait lui-même dans l’ensemble infini de l’espace, la finitude de la prématière devant se comprendre comme quantité achevée d’une substance, ne pouvant s’accroître par un apport externe.

Comme on le constate, lorsque nous passons de la logique mathématique abstraite à son application dans le réel, il devient possible de résoudre ce qui parait intellectuellement comme un paradoxe.