La physique quantique pour les nuls
(3e partie)
3. L’équation de Schrödinger et les amplitudes quantiques
Résumé des épisodes précédents : suite à une étrange expérience, menée par le prof Schrödinger, je me suis retrouvé propriétaire de deux chats très bizarrement intriqués, identiques en tout point puisque selon le prof ils seraient en fait le même chat, dédoublé. Le prof pense avoir trouvé un moyen de reconstituer le chat unique d’origine, et pour cela il me demande abruptement si... Je joue au ping-pong !)
Quelle question, en un moment pareil ! Il était vraiment fou, pensais-je.
- Moi, j’y joue, poursuivit-il. Mais c’est difficile sans partenaire. Ach, je crois qu’il m’en reste une ou deux. Vous, allez libérer les deux chats pendant ce temps.
- Une ou deux quoi ?
Sans répondre, il se dirigea vers une surface horizontale située dans le fond de la pièce, recouverte d’un drap sale et encombrée d’un bric–à-brac hétéroclite d’objets divers, parmi lesquels je reconnu une lunette astronomique, un réveil matin mécanique, un autre électrique, un démarreur de voiture, une antenne parabolique, et un parapluie dont il ne restait que les baleines.
- Où sont-elles, déjà ? J’étais sûr d’en avoir deux. Eh bien, que faites-vous à me regarder ? Libérez ces deux chats !
Sursautant, je me dirigeai vers les cages et ouvrit les deux portes. Les deux chats en sortirent vivement, et se mirent à tourner en rond, chacun selon son propre cercle.
- Ach ! Je les ai trouvées ! s’écria Schrödinger. Les voilà !
Il tenait deux balles de ping-pong dans la main. Il exultait.
- Savez-vous, jeune ignorant, qu’un électron est mille huit cent trente-six fois plus léger qu’un proton ?
- Non, je n’en savais rien et qu’allez-vous faire avec cette balle de ping-pong et quel rapport avec les chats ?
- Eh bien chaque balle est mille huit cent trente-six fois plus légère qu’un chat, naturellement.
- Naturellement.
Cette fois, j’en suis sûr, il est complètement dingue, pensais-je.
- Si les chats sont comme des protons intriqués, alors chaque balle de ping-pong est comme un électron. De sorte que si nous intriquons ces balles avec les chats, nous créerons, ach, comment dire, l’équivalent d’une molécule de dihydrogène. Le problème, c’est de résoudre l’équation pour la molécule « chats intriqués plus balles de ping-pong ». Diable !
- Quelle équation ?
- Mon équation, jeune homme ! L’équation de Schrödinger, la plus célèbre équation de la physique !
- Ah, vous voulez dire E = MC2 ? Je pensais que c’était Einstein.
Schrödinger fit une moue dégouttée.
- Peuh ! La petite équation de ce coq prétentieux ne vaut pas une roupie de sansonnet face à la mienne ! La sienne permet de faire des bombes atomiques, la mienne fait fonctionner la matière, elle décrit toutes les particules atomiques, tous les atomes, toutes les molécules ! c’est quand même plus important, non ?
- Certes, dis-je. N’osant le contredire. Et que dit cette équation ?
- Elle s’écrit, en simplifiant un peu : E psi = H psi !
E psi = H psi ? Pensais-je. Ça n’a pas l’air terrible.
- On doit pouvoir simplifier par psi pour trouver E = H, non ? Hasardais-je.
Qu’avais-je dit là !
- Ignorant ! Se désola-t-il. Ignorantus, ignorantum, ignoranta ! On ne peut rien simplifier du tout ! C’est une équation différentielle, jeune homme !
- Et ça veut dire quoi, ça ?
- En voici la version complète, dit-il en traçant quelques signes cabalistiques sur le tableau :
- Cette équation, reprit-il, permet de calculer la fonction d’onde, psi (Ψ), à partir de l’énergie E du système et de son Hamiltonien H, qui est un opérateur aux dérivées partielles… Bon laissons tomber, ajouta-t-il en voyant ma totale incompréhension. Disons que, grâce à elle, on peut déterminer avec une totale précision toutes les probabilités quantiques, telle que la probabilité que le système soit dans tel ou tel état, celle que son énergie soit ceci est cela, etc. On peut calculer la trajectoire de toutes les particules, et en particulier celles des électrons autour d’un atome ou dans une molécule. Cette petite équation qui n’a l’air de rien possède une puissance inouïe, jeune homme !
- Si vous le dites…
- D’ailleurs je vais vous en faire la démonstration, grandeur nature !
Sans crier gare, il lança les deux balles de ping-pong vers les des deux chatons, qui continuaient à danser la gigue. A ma grande surprise, les balles de ping-pong semblèrent s’animer d’elles-mêmes. Elles accélérèrent d’un coup, et se mirent à décrire à toute allure, presque en vrombissant, une trajectoire en huit autour des deux chats qui semblèrent se calmer en retour. Ils ne bougeaient presque plus, se contentant de tourner doucement sur eux-mêmes. Le soulagement était visible dans leurs yeux, et ils cessèrent de miauler.
- Doc ! M’exclamais-je. Quel est ce prodige ?
- Quel nom avez-vous donné à ce chat, disiez-vous ? Demanda-t-il tout à trac au lieu de me répondre.
- Je l’ai appelé Edwin, et je ne vous l’avais pas encore dit, Répondis-je.
- Edwin ? Joli nom, je trouve, dit Edwin Schrödinger. Eh bien, je vous présente une molécule d’Edwinium.
- Quoi ??
- Ces chats sont comme des noyaux atomiques, des protons, et pour eux ces balles de ping-ping sont des électrons. Elles les lient ensemble comme dans une vraie molécule.
- Ping-pong vous voulez dire
- Non, ping-ping, parce qu’en réalité il n’y a qu’un seul chat. C’est d’ailleurs ce qui me trouble. Il faut absolument que je calcule l’Hamiltonien de ce système, afin de déterminer la fonction psi…
- L’Hamil quoi ? et qu’est-ce que cette fonction psi dont vous parlez sans cesse ?
- La fonction psi, jeune homme, mais c’est la fonction d’ondes ! (Et il y avait du respect dans sa voix pendant qu’il disait cela). C’est elle qui fixe la valeur de l’onde en tout point de l’espace-temps !
- Mais de quelle onde parlez-vous ?
- L’onde d’amplitude de probabilité de présence, bien sûr !
- Je ne comprends plus rien.
- Vous vous souvenez qu’en mécanique quantique, chaque particule, chaque groupe de particules, chaque objet, peut se comporter comme une onde ?
- Oui, je me souviens.
- L’onde fixe les probabilités de présence. On ne peut déterminer que des probabilités. Par exemple la probabilité qu’un électron soit ici ou là, ou possède telle ou telle énergie, ou soit dans tel ou tel état. Vous me suivez ?
- Oui, je sais cela.
- Mais l’onde ne donne pas directement les probabilités. Pour les obtenir, il faut d’abord calculer la fonction psi. Pour cela on se sert de mon équation, jeune homme, pas de celle de ce morveux d’Einstein. Puis il suffit de prendre le carré de son module pour obtenir une probabilité.
- C’est du chinois.
Schrödinger soupira.
- Cette fonction psi prend des valeurs qui peuvent être réelles ou complexes, c’est-à-dire avec une partie imaginaire, comme la racine carrée de -1. On appelle ces valeurs des amplitudes de probabilité. Ensuite, le carré du module, ou de la valeur absolue, si vous préférez, de l’amplitude donne la probabilité cherchée. Vous avez compris ?
- C’est du japonais.
Schrödinger re-soupira.
- Supposons que je calcule, avec mon équation cela va sans dire, cette fameuse fonction psi pour l’Edwinium formé par nos chats intriqués et les deux balles de ping-ping. Avec elle, je peux déterminer les amplitudes pour que les chats soient dans tel ou tel niveau d’énergie. Supposons que je trouve que l’amplitude pour que le premier chat soit immobile à un instant donné est de 0,4 ; que l’amplitude pour que le second soit immobile au même moment est de moins 0,6 ; et que l’amplitude pour que les deux balles soient immobiles est de 0,2. Supposons que nos trois amplitudes sont indépendantes, ce qui n’est pas vrai, mais passons. Comment trouver la probabilité que les deux chats et les balles soient tous simultanément immobiles ?
- Oui, comment ?
- En mécanique classique, on prendrait le carré des amplitudes pour obtenir des probabilités, puis on ferait le produit des trois probabilités, soit (0,4 x 0,4) x (-0,6 x -0,6) x (0,2 x 0,2), et on trouverait 0,002304 : une probabilité d’à peu près zéro virgule deux pour cent pour que les deux chats et la balle soient immobiles.
- Pas terrible.
- Mais la nature ne fonctionne pas comme cela. L’univers obéit en réalité à la mécanique quantique, pas à la mécanique classique. Ceci parce que, tout comme des ondes qu’elles sont en réalité, les amplitudes interfèrent ; Comme des vagues sur la mer, elles s’ajoutent et se retranchent. Ce que nous devons faire en réalité, c’est calculer l’amplitude totale d’abord, et la mettre au carré seulement ensuite.
- Ah ! Fis-je.
- Ach ya ! Dans mon exemple, l’amplitude totale est donc 0,4 - 0,6 + 0,2 = 0 ! L’amplitude, donc la probabilité, est nulle ! Les chats et les balles ne pourront jamais s’immobiliser !
- Mais c’est terrible !
- C’était juste un exemple, s’empressa de me rassurer Schrödinger. Ce qu’il faut maintenant, c’est calculer les vraies amplitudes, et donc les probabilités, pour le système formé par notre molécule d’Edwinium. Ach Ya ! Et tant qu’à faire, je vais calculer l’amplitude pour que les deux chats fusionnent et ne fasse plus qu’un !
Un mince espoir se fit jour en moi.
- Vous pourriez faire ça ? Demandai-je.
- Natürlich ! Ach ! Il me faut un stylo et du papier beaucoup de papier !
Il se leva, et ouvrit une petite porte que je n’avais pas remarquée dans le fond du labo.
- Mon bureau, jeune homme !
Je jetai un œil à l’intérieur. C’était une grande pièce, aussi grande que le labo, mais littéralement remplie de papiers et de livres, qui formaient des piles instables allant parfois jusqu’au plafond. Schrödinger se fraya difficilement un passage entre les piles vacillantes et poussiéreuses, et en revint triomphalement avec un antique stylo plume et une épaisse rame de papier.
- Euh… Vous n’avez pas d’ordinateur ?
- Un ordinateur ? Et pourquoi faire ?
- Mais pour faire tous ces calculs ! A la main, ça va prendre en temps fou !
- Peuh ! Les ordinateurs, c’est bon pour ces physiciens de pacotille du CERN, qui traficotent bêtement des tonnes de données issues de leurs accélérateurs de particule afin de prouver l’existence de leur fichu boson de Higgs, qui découle pourtant tout naturellement de ma théorie ! Non, jeune homme, le papier c’est bien plus sûr !
- Mais… Ça va vous prendre combien de temps ?
- Le temps qu’il faudra, jeune homme ! Asseyez-vous, prenez un autre café avec du schnaps !
Beaucoup de café-schnaps plus tard, la nuit était tombée depuis longtemps et je la tête me tournait. Je m’endormis.
La suite : Le spin, les Bosons et les Fermions