Question d'entretien en finance de marché: Call en delta hedge

Questions d'entretiens en finance de marché.

Je suis récemment tombé sur une liste de questions posées en entretiens de finance de marché réalisées par un professeur du master IFMA de l'université Pierre et Marie Curie rattaché à Jussieu.
Parmi ces questions, une question en particulier à attirée mon attention:

On est short d’un call européen, et on se delta-hedge. On sait qu’il va y avoir un saut du sous-jacent. Quel sens du saut nous est le plus avantageux ?

Je dois vous avouer que je n'avais aucune idée de comment répondre à cette question. En interrogeant mes collègues, il ne m'a pas été possible de faire apparaître un consensus (:-p).
Jusqu’à ce que je tombe sur ce document de Jean-Baptiste Desquilbet qui est issu du même alma-mater que moi (ah Université de Lille 1 -Villeneuve d'asq - jeunesse enfuie).  Je vais étendre cet étude mais l'analyse déterminante vient de ce document.

Étudions les termes du problèmes

Prenons notre call européen, la position que nous avons initiée est short. Cette expression peut avoir un sens différent suivant le contexte. Si nous sommes un market maker, cela veut dire que nous avons émis un Call avec un Strike et un premium que nous avons choisi et que nous l'avons vendu à une autre contrepartie.
Si on est pas market maker, cela signifie que l'on est allé trouver son courtier pour initier un short sale (from wikipedia):
 
Rappelons qu'un Call est croissant avec le prix du sous jacent. Si les cours montent beaucoup, quiconque shorterait le Call se retrouverait avec un Pay-Off négatif et possiblement infini. Le risque de perte à la hausse est donc plus fort que le risque de perte à la baisse si l'on détient le short Call sans couverture.
Concernant le delta hedging, rappelons que δ= ∂C/∂S ou S est le court du sous jacent. Quand on se delta hedge, on essaie de maintenir ce δ le plus proche de 0 en ayant une stratégie de couverture. Ce delta-hedging est une stratégie dynamique. Dans le sens ou des fortes variations du cours du sous jacent rendent la couverture inefficiente, il faut réajuster la couverture de manière régulière. Ceci traduit le fait que l'option n'a pas un rapport linéaire avec son sous jacent.
Cette stratégie est couteuse en théorie,et encore plus couteuse en pratique (frais de transactions), et ce coût est croissant avec le nombre de réajustements. Additionnellement, à l'équilibre, Black & Scholes théorise en l'absence d'AOA que le rendement de cette stratégie est le rendement sans risque (minoré des frais de transactions). From Black&Scholes (1973):

Comme vu ci-dessus, la stratégie de couverture d'un short call est l'achat long de δ sous-jacent.

Solution

Il y a deux façons de voir ce problème:

• On considère que le réajustement de couverture est en défaut (1)

• On considère qu'un réajustement de couverture suffisant à eu lieu (2)

Notons t0 et t1, S0 et S1 les dates et les cours associées à l'avant du saut et après le saut. En t0, on achète δ0 titres de couvertures.
Dans le cas (1),  En t1, le nombre de titres de couverture devrait être  δ1. Il y a donc un écart de couverture de δ0-δ1.  Le prix d'un call étant strictement croissant avec le sous-jacent, si les cours baissent δ1 < δ0. Si les cours montent  δ1 > δ0. Un short-call à un comportement diamétralement opposé, δ est décroissant par rapport à S et négatif. Si les cours montent, δ1 < δ0. Par définition, ΔV (call) = δ.ΔS.
Comme nous détenons δ0 actions, le ΔV de cette position est δ0.ΔS. En tenant compte du short, le ΔV de valeur de la stratégie est:

Si ΔS>0 ==> δ1<δ0 ==> ΔV<0 et inversement si ΔS<0. Par exemple : δ0= - 50% et δ1= - 95%
On voit donc qu'il vaut mieux que les prix baissent. Instinctivement on comprend que la couverture est insuffisante.
Dans le cas (2), le delta hedge est considéré comme parfait, ce qui nous assure que ΔV =0 pour notre stratégie. Néanmoins, le sens du saut n'est pas indifférent en terme de coût de couverture. En effet,

Supposons que le prix du sous-jacent baisse (S0>S1)

• δ augmente, δ1>δ0 mais avec δ toujours négatif. 

• On met en place une couverture de - δ1 titres. On doit donc vendre  δ1 -δ0 >0 des titres achetés à S0 au cours S1.

• On réalisera que cette couverture implique d'acheter haut pour vendre bas.

Le saut vers le bas est donc le plus couteux en terme de couverture. On arrive donc à la conclusion inverse.
Je conclurait que cette question est en quelque sorte purement académique. Dans le cas d'une vraie situation de trading, il faudra utiliser les expressions algébriques des valeurs du Call/Put pour faire une évaluation numérique.