Comment pricer les CDS : la credit curve

Dérivés de crédits: les CDS.

Les CDS sont des contrat à terme liant deux partes dont les termes sont standardisés par L'ISDA. Ce sont des dérivés de crédit.
Ces contrats stipulent que le vendeur du contrat offre une protection à l'acheteur contre un événement de crédit affectant un titre de référence. En échange de cette protection, l'acheteur paie une prime (premium) versée selon une fréquence déterminée à l'avance et exprimée en point de base. On parle aussi de spread. Ces paiements se poursuivront jusqu'au premier événement survenant: soit jusqu’à la maturité du contrat, soit jusqu'à un défaut.
Les contrats CDS peuvent spécifier une livraison physique ou une compensation en espèces. Dans le cas d'une livraison physique, une enchère dirigée par L'ISDA va déterminer le titre de séniorité minimum (Cheapest To Deliver) pouvant être livrée au vendeur de protection en échange d'un paiement de la valeur faciale du contrat. Dans le cas d'une compensation en espèces, le vendeur rendra le nominal à l'acheteur. D'un point de vue pricing les deux modalités sont équivalentes.
En fonction, de la nature du titre de référence, il est possible de définir un recovery rate R, qui correspond au ratio des actifs pouvant être réclamés dans le cadre du règlement judiciaire du défaut.
Enfin, Il est bon de noter que:

• Certains titres contiennent des paiements à l'initiation du contrat, ou Points Up Front (PUF)
• Lorsque un événement de crédit survient, la grande majorité des contrats stipulent un paiement des intérêts courants non échus (Premium accrued).

Par ailleurs, on notera qu'il est possible de démembrer un contrat CDS en 2 pattes, la patte premium  qui verse tous les premiums, et la patte de protection (protection leg) qui offre un unique versement en cas de défaut.
Dans tous les cas, un contrat CDS juste émis à une valeur égale à 0, et ses pattes sont égales.

Mark to Market (MtM)

Nous allons essayer de déterminer quelle est la valeur de marché d'un contrat CDS en faisant le minimum d'assomption sur les mécanismes qui régissent les prix des CDS. Supposons qu'un investisseur ait acheté un CDS de maturité 5 an portant sur une obligation de même maturité émise par l'entreprise Tartentpion (inc). En échange de cette protection, il paye 60 pdb annuellement avec une fréquence trimestrielle.1 an s'écoule, et notre investisseur souhaite connaitre la valeur de marché de son contrat.A cette date, il est possible d'acheter une protection contre le défaut de Tartenpion pour 170 pdb pendant 4 an. Comme un CDS émis vaut toujours 0 (comme pour un swap), on note:
Valeur de marché de la Protection de 4 ans  = espérance de paiement du prémium de 170 pdb pendant 4 ans
Comme par ailleurs, la patte protection offerte par le nouveau contrat est identique à celle du contrat précédent, on a:
MTM= espérance de paiement du prémium de 170 pdb pendant 4 ans - espérance de paiement du prémium de 60 pdb pendant 4 ans.
Si on note:
- Tv: la date de valorisation d'un contrat.
- Tn: la maturité du contrat
- RPV01 (Risky Present value of 1 pdb): l'espérance statistique d'un paiement de 1 pdb jusqu'au défaut ou la maturité.
- S(Tv,Tn) : le spread contractuel versé entre Tv et Tn.
On obtient:

 Modèle de Crédit

Il est bon de noter que alors que le pricing des swaps est basé sur des flux certains, les flux des CDS sont incertains et donc nécessitent un modèle statistique de pricing.
Nous allons appliquer les concepts d'une branche des statistiques appelées survival analysis. Ces outils vont nous permettre de de définir une probabilité cumulative de survie en t S(t), et un taux instantané de défaut ou hazard rate λ(t). Les probabilités de survie que nous allons détailler sont des cas particuliers de la loi de poisson.
Nous allons supposer que la survie du titre suit une loi telle que:Lire: la probabilité de défaut entre t et t+dt conditionnelle à la survie en t est proportionnelle au hazard rate.On peut démontrer que :Il en découle que en faisant tendre dt-->0, on obtient:
soit:

Pour être exploitable ce modèle compte fait plusieurs assomptions:

• S(t) et λ(t) sont totalement indépendant des taux.
• λ(t) est déterministe.
• le Recovery rate R est indépendant de λ(t).

Ces assomptions sont fausses dans le cas général mais le back testing indique que les erreurs sont acceptables même si elles ne sont pas négligeables.
On appellera la courbe des  λ(t) la credit curve.
Dans la suite de ce document, nous allons appeler D(t) (D comme Discount) le terme d’actualisation s’appliquant aux flux du CDS et construit à partir des courbes Zero coupons à risque nul.On notera par ailleurs R le recovery rate ou taux de récupération des actifs dans le cas d’un règlement judiciaire.On omettra le terme multiplicatif de la valeur faciale N. Il est par ailleurs facile de le rajouter.

Valorisation de la patte de protection.

Cette patte de protection contient un seul flux incertain de montant 1-Rau moment du défaut. La valeur actuelle de ce paiement est donnée en notation continue par:
[1-RC]
Ou C constitue le Claim, Il s'agit de la valeur facile du titre de référence et des intérêts courants non échus sur le titre de référence.  Ceci est exprimé comme R.C=R.(1+A(s)). Par souci de clarté nous omettrons ce terme en ne gardant que [1-R]. Mais en omettant ce terme, nous avons tendance à sous estimer le risque associé au défaut. La valeur du CDS est aussi moindre en tenant compte des intérêts courants non échus sur le titre de référence car ces ICNE ne sont pas couverts par le CDS.
Nous allons appliquer notre modèle probabiliste à ce flux incertain :

• On établit la probabilité de survie jusqu'à s à S(s).

• Sur le prochain intervalle [s ;s+Δs], la probabilité de défaut est de λ(s).Δs et donne un Pay-Off de 1-R

• On actualise ce flux de 1-R par D(s).

On obtient donc [1-R].D(s).S(s).λ(s).ds. En considérant la période courant de t à la maturité T du CDS, on évalue l’espérance de gain comme :Sans information supplémentaire sur la structure de λ(s), il est nécessaire de procéder à une intégration numérique avec m points d'évaluations. Jarrow & Turnbull justifie que l'erreur introduite numériquement est de l'ordre de r/2M ou r est le taux sans risque.

Valorisation de la patte de premium.

Suivant le même raisonnement on établit :
Ou p est le premium.
On notera que conformément à ce qui est évoqué plus haut, le MtM utilise une grandeur RPV01. Cette grandeur est définie et permet d'exprimer Ppremium= p.RPV01.
La valeur d’un contrat détenu par l’acheteur de protection est donc:

Relation hazard rate au spread.

A l'initiation d'un CDS sa valeur 0, si par ailleurs on considère que λ(s) est constant, on obtient la relation:
ici λ doit être interprété comme la probabilité de défaut sur la période concernée.

Application au cas discret

Si au lieu d'utiliser le continuous compounding, on utilise des intérêts annuels discrets, avec des paiement par arriéré la notation devient:
Mais attention, si on compte les Premium Accrued (PA), la formule de vient nettement plus compliquée:
Jarrow et Tunbull (voir annexe proposent une approximation de cette expression). Si les PA ne sont pas pris en compte, il déduisent que l'on s'expose à une erreur de :
ou f est la fréquence de paiement.

Annexe

Notes On Survival modelTakis KonstantopoulosValuing Credit Default Swaps I: No Counterparty Default Risk,. Alan White, John C. Hull (2000)

Valuation of Credit Default Swaps. (PDF)
Dominic O'Kane, Stuart TurnBull (2003)

Credit Derivatives: Risk Management, Trading and Investing Par Geoff Chaplin

The Pricing and Risk Management of Credit Default Swaps with a focus on the ISDA Model

Richard White (2014)

Bootstrapping Credit Curves from CDS Spread CurvesGiuseppe Castellacc