Comment pricer les Swaps de taux (Intrest Rate Swap)

Pricing des swaps de taux

Quelques définitions.

Un IRS ou Swap de taux est un contrat à terme échangé sur les marchés OTC. La plupart de ces contrats sont standardisés par l'International Swaps and Dervivatives Association.
Ce contrat constitue un accord entre deux contreparties pour échanger des flux financiers dans le futur. Les IRS sont rangés dans la catégories  des produit de taux: Comme pour les coupons des obligations, les deux contreparties échangent des versements qui sont proportionnels à un taux et à une valeur faciale.
Dans sa version la plus simple, un contrat IRS va amener une contrepartie à payer un taux fixe et recevoir un taux variable qui sera modelé sur les taux inter-bancaires (EURIBOR/LIBOR), tandis que l'autre partie recevra ce taux fixe et payera le taux variable.
Une contrepartie détenant un contrat IRS sera donc soit la contrepartie 'receveur taux fixe, payeur taux variable', soit la partie 'receveur taux variable, payeur taux fixe'. Tous les flux fixes seront regroupés dans une patte dite taux fixe. tous les flux variables seront regroupés dans une patte dite taux variable.
Un IRS standard est décrit par les données suivantes:- Une valeur faciale, appelée nominal, qui est utilisée pour calculer les flux échangés. Attention, contrairement à une obligation, le nominal des IRS n'est jamais échangé.- Une maturité ou ténor.- Le taux de la patte fixe, sa fréquence de paiement (trimestriele, semestrielle, annuelle).- L'indice de référence de la patte variable (LIBOR+0.7%)  et sa fréquence de paiement.

Évaluation des pattes

Nous allons suivre la notation suivie par le document de Gerald Gay en annexe, en complétant les informations si nécessaire par d'autre sources.
Notons B_Fix la VAN d'une obligation à taux fixe de principal F versant des coupons C̅ aux temps t1,....,tn. Notons B_Flt (float) la valorisation d'une obligation à taux variable versant des coupons C̃.
La VAN corresponds à la somme des flux multipliés par un terme d'actualisation (Discounting factor) dépendant de la maturité:
Ou ₀R_t désigne le taux  LIBOR. zéro coupon de maturité t .
Dans le cas d'un IRS receveur fixe, payeur variable, la valeur de notre swap sera donnée par V= B_Fix-B_Flt. Dans le cas d'un IRS payeur variable, receveur fixe, ce sera l'opposé.
Un swap nouvellement créé qui serait sans avantages pour les deux parties devrait être valorisé à 0. En effet si B_Fix=B_Flt, alors le swap est valorisé par les deux parties à 0.

Valeur au pair (par value rate)

Cette égalité va nous permettre de définir le prix du swap ou par value. C'est le taux fixe tel que B_Fix=B_Flt. Dans la pratique, ce taux est obtenu en donnant la valeur de nominal 1 à la patte variable et en valorisant la patte fixe suivant la méthode décrite ci-dessous pour résoudre l'équation sur les taux

Simplifications sur la patte variable

Lorsque un investisseur détient une créance sur le marché interbancaire de nominal N et maturité T servant le taux LIBOR, alors la valeur présente de cet instrument est par définition N car le coupon versé est proportionnel au nominal et au taux interbancaire sur la maturité T ₀R_T .
De la même manière, si on décompose la patte variable en une série de paiements servant le taux forward ₀R_T sur leur maturité T, on sait qu'au moment du paiement d’intérêt, la patte variable à une valeur présente N : Un investisseur se refinançant périodiquement sur le marché interbancaire sera capable de répliquer la performance de la patte variable, et la valeur présente de son investissement est aussi N. On parle de reset suite au roll-over  du swap à chaque date de paiement. De fait la valeur de la patte variable quand on déplace le curseur temps suit :

Comment valoriser le Swap en dehors des dates de paiement ?
Supposons que l'on se place juste après l'émission de la patte variable à t0. Le prochain versement de coupon aura lieu à t1. Notons r₀ le taux Libor de maturité t1, ce taux peut-être ramené à un taux annuel (t1/360),  le coupon versé est déterminé au début de la période et sa valeur sera C̅₁=N*r₀.
Immédiatement après le paiement du coupon, comme expliqué précédemment sa valeur sera N. il en découle qu'avant ce paiement la valeur de B_Flt sera N+C̅₁  soit N( 1 + r₀). 
Introduisons un maintenant une date t* comprise entre t0 et t1. A cette date un nouveau taux Libor r* sera en effet. En actualisant B_Flt par ce taux, on obtient:
Prenons l'exemple d'un swap de maturité 1 an (360 jours) de nominal 1.0 ayant deux paiements semestriels à t=180 et t=360. Supposons que les taux forwards annualisés soit ₀R₁₈₀=6% et ₀R₃₆₀=7%.
Le premier coupon versé par la patte variable du swap sera  déterminé en début de période 0.06*180/360*1= 0.03 €.
Si 10 jours passent, soit t*=10,  les dates de paiement de coupons sont donc maintenant dans 170 et 350 jours. De  nouveaux taux sont à prendre en compte ₀R₁₇₀=6,5% et ₀R₃₅₀=7,5% alors la valeur du swaps sera:On notera que la valeur global de la patte variable ne dépend que de la période courante courant jusqu'au prochain versement de coupons et pas des périodes ultérieures.

Patte fixe: Récupérer les données de marché.

Pour la patte fixe, il faut maintenant prendre la valeur de tous les flux et les actualiser par le taux forward de maturité t.
Ce taux est une valeur de marché accessible pour les maturité les plus courtes, mais pour les maturités non standard, ou supérieure aux taux LIBOR, il faut fait intervenir deux mécanismes pour obtenir les taux forward: interpolation et bootstrapping.
Supposons que le marché offre des cotations pour le taux zero coupons Libor 3 mois à 5% (soit 90 jours)  et pour le taux Libor 6 mois à 6% (soit 180 jours). Or si nous souhaitons actualiser un flux à recevoir dans 4 mois (soit 120 jours), quel taux prendre ?
En fait, si on fait l'assomption d'une courbe des taux continue et progressive, on comprendra que le taux pour 4 mois devrait se situer entre 5% et 6%. La démarche la plus simple, pour trouver une approximation de ce taux est d'utiliser une interpolation linéaire (Taux=a*t+b).
En utilisant cette approximation on déduit ₀R₁₂₀=₀R₉₀+(₀R_180-0R₉₀)*(120-90)/(180-120)=5.5%.
Enfin, l'approche du bootstappring, que nous allons détailler plus bas; nécessite de calculer des taux dits forwards. Ce sont les taux qui s'applique à une date dans le futur pour une durée T.
Ce taux forward est obtenu en prenant deux taux connus sur deux maturité de marchés. La formule qui s'applique est :
Si on reprend l'exemple précédent, le taux 3 mois forwards dans 3 mois est   ₉₀R₉₀=(0.06*180 - 0.05*90)/(180-90)= 7%.
Il est maintenant possible de combiner les taux forwards et les taux interpolés pour construire une courbe des taux dites bootstrappée qui combine les deux taux calculés sur l'ensemble des taux de marché s accessibles.
Supposons que nous connaissions le taux zero-coupon 6 mois  ₀R₁₈₀ et le taux forward 3 mois dans 6 mois ₁₈₀R₉₀. Alors on peut calculer le taux zéro coupon sur 9 mois  ₀R₂₇₀, Avec la formule:
(1+ ₀R₂₇₀(270/360))=(1+₀R₁₈₀(180/360))*(1+₁₈₀R₉₀(90/360))

Futures sur EuroDollars et OIS

Le money market regroupe des instruments de court terme, mais les swaps eux peuvent avoir des maturités importantes de 30 ans et plus. Pour avoir accès aux taux des maturités plus importantes, il est nécessaire de déduire les taux sur d'autres types de produits.
On peut ainsi utiliser les FRA (Forward Rate Agreement).
Les EuroDollars, a ne pas confondre avec les produits FX, sont des certificats de dépots  libellés en dollar qui ne sont pas sous la juridiction de la Fed américaine. Leur nom vient du fait que ces produits nominés en dollars étaient à leur début essentiellement détenue par des banques européenes.
Leur taux de rémunération reflétent celui du Libor, et des futures sur ces  produits existent sur ces produits jusqu'à une maturité de 10 ans.
Par ailleurs, depuis 2008, les taux libor ne sont plus utilisés car ils portent un risque de contrepartie additionnel, ils sont remplacés dans l'industrie financière par les taux OIS. 
Pour les maturités les plus longues, les seuls instruments applicables sont les swaps de taux (wikipedia):
Typical inputs to the money market curve

TypeSettlement dateRate (%)

CashOvernight rate5.58675

CashTomorrow next rate5.59375

Cash1m5.625

Cash3m5.71875

FutureDec-975.76

FutureMar-985.77

FutureJun-985.82

FutureSep-985.88

FutureDec-986.00

Swap2y6.01253

Swap3y6.10823

Swap4y6.16

Swap5y6.22

Swap7y6.32

Swap10y6.42

Swap15y6.56

Swap20y6.56

Swap30y6.56

A list of standard instruments used to build a money market yield curve.

The data is for lending in US dollar, taken from October 6, 1997

Annexes

Options, Futures, And Other Derivatives, John C Hull.
Finance de Marché, Roland Portait, Patrick Poncet, 2eme édition.
The Pricing and Valuation of Swaps (PDF)Gerald Gay, Georgia State University, and Anand Venkateswaran, Northeastern University.
Différence LIBOR-OIS
http://www.investopedia.com/articles/active-trading/061114/what-ois-libor-spread-and-what-it.asp