J’aborde la partie la plus difficile et la rédaction de ce dialogue avec CANDIDE va s’en ressentir …N’hésitez pas à vous jeter à l’eau et à me poser des questions…….j’adore ça !
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-« Je recopie PIERRE ta dernière question : « -« Holà PAPY ! Puisque tu ne veux pas faire de l’art pour l’art et RESTER EFFICACE en maths , dis-moi si l’ outil forgé sera capable de rendre compte des règles de l’univers…… »
Je n’y réponds pas ! Il est bien trop prématuré pour moi de le tenter tout de suite et je te propose plutôt de commencer à examiner la façon de « marier » au mieux géométrie et algèbre….. Commençons par admettre que pour la définition du point « géométrique » , au fond la tienne était le résultat d’une perception quasi immédiate traduite en mots simplissimes !
-« Et pourquoi pas PAPY ? Que me reproches-tu là? Le point c’est la petite tache qui termine cette ligne. ( !!) Et je la fais aussi petite et si tu veux , je peux imaginer la faire disparaitre à ton œil !!!!
-« Ne te rends –tu pas donc compte de l’intuition subtile qui a du guider EUCLIDE ? « LE POINT= Ce qui ne peut être divisé »….. Nous sommes en géométrie PIERRE et un point n'a ni largeur, ni longueur, ni hauteur. Sa dimension est donc zéro. Il forme un tout indivisible….Mais comment ? C'est un élément premier, un constituant primitif…Mais de quoi ?
Je suppose que Euclide extrapolait sa perception vers l’infiniment petit puis vers la notion de rien ou de zéro !…… Et lorsque tes images me proposent plusieurs types de points, par exemple celle-ci où deux droites sécantes ne se coupent qu'en UN SEUL point ... Qu’est ce qui te permet de le savoir ?????? Et d’ailleurs , comme toi , c ’est ensuite qu’ Euclide est contraint de mieux « s’expliquer » !…Enfin :façon de parler !!!… Par son célèbre premier postulat ! « .Deux droites sécantes ne se coupent qu'en un seul point »... Ca ! c'est une proposition dont il est demandé qu'elle soit acceptée sans démonstration !Mes américains de PRINCETON me diraient : » you ‘ve to lump it or to leave it ! »= ( c’est à prendre ou à laisser )….Moi j’appelle ça , les postulats d’EUCLIDE , des « constats contestables » !Et pour GROTHENDIECK et avant lui les promoteurs des géométries non euclidiennes ,LOBATCHEWSKI et RIEMANN ne jugeaient pas ces postulats comme des choses aussi définitivement évidentes !
-« Mais PAPY cela se rapproche alors peu ou prou de la définition MODERNE d'axiome ?
-« ET oui PIERRE ! Et c’est en partant de ces « constats contestables » ( !) que la réflexion de GROTHEDIECK s’allume ….Et je ne peux faire mieux que de la citer ( copier- coller) « On peut dire que « le nombre » est apte à saisir la structure des agrégats « discontinus », ou « discrets » : les systèmes, souvent finis, formés d’ « éléments » ou « objets » pour ainsi dire isolés les uns par rapport aux autres, sans quelque principe de « passage continu » de l’un à l’autre.
« La grandeur » par contre est la qualité par excellence, susceptible de « variation continue » ; par là, elle est apte à saisir les structures et phénomènes continus : les mouvements, espaces, « variétés » en tous genres, champs de force etc. Ainsi, l’arithmétique apparaît (grosso-modo) comme la science des structures discrètes, et l’analyse, comme la science des structures continues »
-« Ma foi PAPY ça me semble très intéressant mais comment relier ça à mes définitions de points et à tes « constats contestables » ???
-« GROTHENDIECK continue en traitant alors de la géométrie ( copier-coller) : « Quant à la géométrie, on peut dire que depuis plus de deux mille ans qu’elle existe sous forme d’une science au sens moderne du mot, elle est « à cheval » sur ces deux types de structures, les « discrètes » et les « continues ». Pendant longtemps d’ailleurs, il n’y avait pas vraiment « divorce », entre deux géométries qui auraient été d’espèce différente, l’une discrète, l’autre continue. Plutôt, il y avait deux points de vue différents dans l’investigation des mêmes figures géométriques : l’un mettant l’accent sur les propriétés « discrètes » (et notamment, les propriétés numériques et combinatoires), l’autre sur les propriétés « continues » (telles que la position dans l’espace ambiant, ou la « grandeur » mesurée en terme de distances mutuelles de ses points, etc.). »’( « Récoltes et Semailles, §2.10. A.G)
- « Alors là PAPY il me semble que je commence à te comprendre …et même que je puis imaginer que GROTHENDIECK va proposer des concepts différents et plus pointus( !) pour la définition du point , de la ligne , du plan d et même de l’espace et envoyer les BOURBAKI au vestiaire !!!!
-« Je t’en prie PIERRE ,nous n’en sommes pas encore arrivés là : ne mettons pas la charrue avant les bœufs !Poses toi pour ce soir la question : si une ligne droite est constituée d’une infinité de points ( d’éléments non divisibles selon EUCLIDE) quelles sont ses propriétés pour qu’ elle puisse se retrouver en un « tout défini globalement » mais restant attaché à un chemin précis ?
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LA NUIT SE PASSE …Le lendemain nous reprenons le dialogue !
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-« As-tu une réponse à me donner PIERRE ?
-« Je crois que oui , PAPY et c’est l’algèbre qui me permettra de te répondre ! ( ma photo) Tout ligne droite DANS LE PLAN XY sera définie par l’équation linéaire y= ax + b ; Les valeurs numériques a et b permettront de la faire passer par où l’on voudra …… Et de plus la continuité à laquelle tu tiens particulièrement, est assurée par la « puissance du continu « que tu peux donner à x !
-« Tu as botté en touche PIERRE !C’est le chemin que prirent les premiers découvreurs .Parler de la puissance du continu pour les valeurs de x ne te guide pas vers la direction de GROTHENDIECK !
A suivre