Le Pouvoir de l 'Imaginaire (368) :Homo mathematicus ...et CANDIDE!

Les questions de CANDIDE/PIERRE fusent !

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-« J’ai trouvé la fin de ton article précédent un peu abrupte ,PAPY …Pourrais –tu me désigner le lien qui relie , selon toi , l’efficacité ( mise en question ) des mathématiques avec leur incomplétude et en particulier le travail inachevé de la célèbre équipe mathématicienne de BOURBAKI ,

-« Comme tu le sais PIERRE tes cousins d’Amérique sont ici et mes minutes assez bousculées .Il m’arrive donc de tomber dans un tohu-bohu intellectuel! Mais je veux bien mieux expliquer comment j’en suis venu à critiquer BOURBAKI …..

Reprenons quelques points de l’histoire des mathématiques du xx ème siècle …… Nous avons vu que nous considérons comme « efficace » une théorie mathématique en tant que formalisme doué de capacités prédictives, explicatives et génératives. En résumé un langage permettant de décrire, d'expliquer et de prédire les phénomènes….Comment en sommes-nous arrivés là ? Comment un ensemble de symboles abstraits, articulés par un jeu de règles précises, peut-il posséder de telles capacités d'adaptation à notre Réalité et aux résultats expérimentaux qu’ on en tire ?

-« Je croyais que c’était le travail progressif de N générations de matheux depuis la RENAISSANCE !la découverte de x (l’inconnue) , des équations , des opérateurs etc.

-« Bien sûr mais pas seulement PIERRE ,! Au 19 ème siècle une « rumination » générale s’est produite ! La majorité des mathématiciens y voient même un changement de paradigme et beaucoup de gens y ont participé (GAUSS/GALLOIS//CAUCHY/ABEL/RIEMANN/DEDEKIND/HILBERT /POINCARE /etc et j’en détache CANTOR …. Les maths étant sorties de la géométrie pure de l’algèbre « calculatrice –outil » etc., sont apparues ensuite et plus clairement comme des systèmes de symboles régis par des règles que les logiciens appellent des langages formels…... Je vais m’expliquer mais remontons un peu dans ce passé et pour aller plus loin SUPPOSONS un mathématicien allemand discutant avec un français sur tel problème analytique , arithmétique , algébrique , géométrique etc …..Impliquant l’emploi de termes précisant telle ou telle propriété très pointue …. Que va-t-il se passer PIERRE ?

-« Je ne vois pas trop PAPY ! Une ellipse restait une ellipse pour les deux …. quoique une équation différentielle du premier ordre pour le français devenait une « Differentialgleichung erster Ordnung » pour l’allemand !..Mais y’a des dictionnaires ! Non !????Je ne vois pas bien la difficulté ….

-« Je veux bien admettre PIERRE que cela a suffi longtemps dans des mathématiques « pragmatiques » où la précision des concepts reste peu ou prou utilitaire mais creusons un peu …. Si l'efficacité des mathématiques doit signifier au fond leur capacité à représenter de façon adéquate un fragment de réalité et même en prédire son comportement , alors comment reconnaissons-nous que quelque chose est réel ? Je crois que c'est dans l’usage quotidien de notre perception visuelle qu'il semble possible de trouver un élément de réponse( voir mes remarques sur le travail de DEHAENE dans 2-3 )… L’ homo primitif a ainsi appris les nombres en discrétisant des objets , animaux , phénomènes etc. « grosso modo semblables » ..Nous les « Modernes » ,nous identifions un certain objet en tant que réalité, et non comme une pure illusion, à partir du moment où nous le reconnaissons comme un invariant dans une série d'opérations physiques ou mentales…… Ce n’est pas toujours facile !Il n’y a pas que son immobilité ou son unicité qui jouent !Par exemple, nous différencierons un cercle d’une ellipse « faible » par une réflexion en deux temps sur leurs propriétés propres ……. Et peut-être ensuite notre imagination s’enflammera et les déformera pour en « faire mentalement » des triangles , des carrés et des polygones etc…..

-« Vive la pâte à modeler PAPY et le caoutchouc élastique !

-« Pourquoi pas … dans une extension de maths « exploratoires » !? Mais c'est la répétabilité, la stabilité d'un signal qui fait penser à la présence d'une réalité. Au niveau théorique, on parlera de la covariance des lois, c'est-à-dire de l'invariance de leur forme sous des changements de « référentiels »…….

-« Oh reste simple ! je t’en supplie !

-« Ah PIERRE ! C’est là que le bat commence à blesser ! Quand nous devons en maths préciser des principes, des axiomes , des propriétés , etc nous devons nous rabattre sur les propriétés de notre langage et voir comment réussir à donner sans ambiguïté les définitions de nos mots ……

-« Où est le problème PAPY?

-« Il y a deux problèmes : celui de la propriété du Réel qu’ il s’agit de découvrir ,de cerner puis de cibler puis de définir le plus « prés serré possible » …. Et il y a celui de la richesse ( ou de la pauvreté !) du contenu sémantique de notre vocabulaire ensuite pour la « traduire » et la symboliser .. .Et on s’aperçoit là très précisément que les mathématiciens ont besoin d’en rajouter un « tombereau » !

-« Comment ça ?

-« Cette traduction se modifie au fil du temps et au fil de la finesse des découvertes effectuées . Et à une même époque, une conception identique peut être traduite par différents outils, de formulation radicalement différente. Et je te donne l’exemple que j’ai vécu PERSONNELLEMENT à 20 ans quand j’appris que c’était Henri POINCARE qui avait créé et décrit les « fonctions fuschiennes »….. Pour les chercher longtemps 20 ans plus tard et découvrir qu’ elles avait changé de nom ! ( cf web/IMAGES DES MATHS /ROSANNA TAZZIOLI) ....Et son " analysis situs" c est devenu .....LA TOPOLOGIE!!!!