Célèbre pour avoir découvert les fractales, le franc-tireur des mathématiques est moins connu pour son étonnant parcours en ligne brisée, à lire dans "BoOks" ce mois-ci. Extraits.
Article paru le 21 mai 2013 dans
"la New York Review of Books"
Benoît Mandelbrot, le brillant mathématicien polono-franco-américain qui nous a quittés en 2010, avait un goût de poète pour le bizarre et la complexité. Son génie pour repérer des relations cachées entre des phénomènes très éloignés les uns des autres l’a conduit à fonder une nouvelle branche de la géométrie, qui a fait progresser notre compréhension des formes naturelles et du comportement humain. La clé de voûte de cette théorie est une idée à la fois simple et difficile à saisir: l’autosimilarité.Pour comprendre de quoi il retourne, considérons un objet bien connu: le chou-fleur. Prenez la tête de ce légume et regardez de plus près sa structure, la manière dont elle se divise en petits fleurons. Coupez l’un d’entre eux. À quoi ressemble-t-il? Il ressemble à une petite tête de chou-fleur, composée à son tour de fleurons plus petits. Maintenant, cueillez l’un de ces mini-fleurons. À quoi cela ressemble-t-il? À un chou-fleur encore plus minuscule. Si vous poursuivez ce processus (et vous aurez bientôt besoin d’une loupe), vous verrez que les fragments toujours plus petits ressemblent tous au légume dont nous sommes partis. C’est pourquoi l’on dit que le chou-fleur est «autosimilaire»: chacune de ses parties est un reflet de la totalité.[…]Ces aspects de la carrière de Mandelbrot m’étaient déjà familiers quand je lus son autobiographie, dont il finit d’écrire le premier jet peu avant sa mort, à l’âge de 85 ans. Je connaissais sa réputation de franc-tireur et de fauteur de troubles, qualificatifs qui, en dépit de ses années de collaboration avec IBM, semblent mérités. En revanche, j’étais loin de soupçonner le nombre incroyable des personnalités avec lesquelles il est entré en relation durant sa carrière. Voici quelques-uns seulement des noms qui affleurent au fil de son récit: Margaret Mead, Valéry Giscard d’Estaing, Claude Lévi-Strauss, Noam Chomsky, Robert Oppenheimer, Jean Piaget, Fernand Braudel, Claudio Abbado, Roman Jakobson, George Shultz, György Ligeti, Stephen Jay Gould, Philip Johnson, et l’impératrice du Japon.J’ignorais également que le comportement généralement imprévisible de Mandelbrot à IBM fut, au moins en partie, responsable de l’apparition de ce fléau de la vie moderne connectée: le mot de passe. Mais ce qui m’a le plus frappé, c’est l’originalité de son intuition. Mandelbrot s’est en effet distingué, de manière récurrente, en décelant de la simplicité et même de la beauté là où les autres ne voyaient qu’un désordre inextricable. Son secret? Un certain penchant pour jouer avec les images, et un recours fréquent aux représentations visuelles: «Quand je cherche quelque chose, explique-t-il, je regarde encore et encore…»
Un survivant
Mandelbrot est né en 1924 dans une famille juive du ghetto de Varsovie. Ses parents étaient loin des mathématiques: son père vendait des nippes et sa mère était dentiste. Douée d’une «main droite robuste et [de] biceps puissants», elle arrachait les dents avec dextérité. Son oncle Szolem, en revanche, était un mathématicien de renom international qui avait étudié à Paris et occupa une chaire au Collège de France. «Nul n’a davantage influé sur mon parcours scientifique que Szolem», nous dit Mandelbrot – bien que l’influence de cet oncle ait finalement pris une forme assez inattendue.En relatant son enfance à Varsovie, Mandelbrot se rappelle nettement, par exemple, la désagréable odeur de fumier que dégageait un des patients de sa mère. Cet homme, ouvrier dans un abattoir, payait les soins qu’exigeait sa dentition gâtée en apportant de la viande fraîche. Le commerce du père périclita à cause de la crise, et la famille abandonna la Pologne pour s’installer à Paris, traversant l’Allemagne nazie à bord d’un train aux portes cadenassées. «Parmi les personnes que nous connaissions, nous sommes les seuls à être partis pour la France et à avoir survécu», se souvient Mandelbrot [...]Le jeune Mandelbrot se plut beaucoup à Paris. Sa famille emménagea dans un appartement sans eau chaude dans le quartier alors très pauvre de Belleville, près des Buttes-Chaumont, mais le garçon s’élança avec passion à la découverte de toute la ville: le Louvre, le vieux musée des sciences de la rue Saint-Martin, le Quartier latin. Au lycée, Mandelbrot fut bientôt considéré comme un «crack».L'homme qui savait "géométriser" un problème
Ce qui lui donnait une longueur d’avance sur ses condisciples, c’était sa capacité à «géométriser» un problème. Au lieu de brasser les formules comme ses camarades, il utilisait sa mémoire visuelle prodigieuse pour voir si telle équation complexe ne revêtait pas, de manière latente, une forme simple. Il raconte ainsi comment, lors d’un concours, il fut le seul élève à résoudre un problème particulièrement épineux. «Comment avez-vous fait?» lui demanda, incrédule, son professeur, un certain M. Pons. «Aucun être humain ne peut résoudre cette triple intégrale dans le temps imparti !» Mandelbrot lui expliqua qu’il s’était contenté de modifier les coordonnées indiquées dans l’énoncé du problème, de manière à faire apparaître son essence géométrique, celle d’une sphère. Sur quoi M. Pons le quitta en marmonnant: «Mais bien sûr, bien sûr, bien sûr…»Mandelbrot avait 14 ans quand la Seconde Guerre mondiale éclata. Après la prise de Paris, ses parents et lui cherchèrent refuge en zone libre. Juifs d’origine étrangère, ils y vécurent dans la peur constante d’une dénonciation et durent bientôt se séparer. Sous un faux nom et muni de faux papiers, Mandelbrot se présenta comme apprenti artisan dans un hameau misérable du Limousin (une nuance rurale s’ajouta alors à son parler, mélange de français correct et d’accent des faubourgs). Après avoir évité de peu une arrestation, il poursuivit son chemin jusqu’à Lyon. C’est là, sous le nez de Klaus Barbie, qu’il perfectionna ses talents de géomètre avec l’aide d’un professeur passionné qui enseignait dans un lycée de la ville.C’est aussi durant cette période qu’il conçut l’idée de ce qu’il appelle sa«quête képlérienne». Trois siècles plus tôt, Johannes Kepler avait rendu compte du mouvement apparemment erratique des planètes au moyen d’une unique intuition géométrique, supposant que leur orbite, au lieu d’être circulaire comme on le croyait depuis l’Antiquité, était de forme elliptique. Adolescent, Mandelbrot «se mit à vénérer» Kepler pour son exploit; il rêva d’accomplir quelque chose de semblable, et d’imposer l’ordre à un domaine de recherche naissant par un audacieux coup de génie géométrique.La secte Bourbaki
C’est dans le Paris d’après guerre que Mandelbrot commença à travailler avec constance pour parvenir à ses fins. Son oncle Szolem l’exhorta à intégrer l’École normale, l’établissement français d’enseignement supérieur le plus sélectif. Mandelbrot y fut admis à l’âge de 20 ans, exploit qu’une vingtaine seulement d’étudiants français ont égalé. Mais il fut rebuté par le style aride et abstrait des mathématiques qu’on y pratiquait. À cette époque, le département de mathématiques de l’École («dite normale, prétendue supérieure», selon l’adage) était dominé par un groupe semi-clandestin du nom de Bourbaki. (Le nom de Bourbaki était emprunté, par jeu, à un général français malchanceux du XIXe siècle qui, voulant se tirer une balle dans le crâne, avait manqué son coup.) Le chef de file était André Weil, l’un des meilleurs mathématiciens du XXe siècle, et le frère de Simone Weil.L’objectif de Bourbaki était d’épurer les mathématiques en les établissant sur des fondations purement logiques, exemptes de toute souillure issue d’intuitions physiques ou géométriques. Mandelbrot trouva la secte Bourbaki, et Weil en particulier, «positivement repoussants». À ses yeux, les bourbakistes coupaient les mathématiques des autres sciences naturelles et en faisaient une sorte de théologie logique. La géométrie, ingrédient si essentiel du rêve képlérien de Mandelbrot, était pour eux une branche morte des mathématiques, tout juste bonne pour les enfants. C’est ainsi que Mandelbrot, deux jours après avoir intégré l’École normale, remit sa démission. La décision scandalisa son oncle, mais cela ne fit qu’affermir sa résolution. […]de la théorie des fractales de Benoît Mandelbrot.
De l'ENS à IBM
Alors qu’il donnait une conférence sur les liens profonds entre la physique et la linguistique, il vit les personnalités scientifiques présentes dans l’assistance s’assoupir les unes après les autres et se mettre à ronfler. Quand il eut fini, le célèbre historien des mathématiques Otto Neugebauer réveilla brusquement les dormeurs en s’écriant: «Je m’insurge ! C’est la pire conférence que j’aie jamais entendue !» Mandelbrot était paralysé par la peur, mais il fut heureusement secouru par un duo de choc: Robert Oppenheimer, le premier, résuma impeccablement les grandes lignes de la conférence en se livrant à une de ses légendaires mises au point; von Neumann, également réputé pour ses interventions, abonda dans le même sens. Le public fut ravi et la rencontre se termina sur un triomphe.De retour en Europe et marié depuis peu, Mandelbrot passa deux années très heureuses à Genève avec son épouse. Le psychologue suisse Jean Piaget, fasciné par ses travaux en linguistique, tenta de recruter le mathématicien pour en faire son collaborateur. Mandelbrot déclina cette proposition, malgré le respect (nuancé) que lui inspirait le grand homme:«Même si Piaget pouvait à l’occasion manquer de clarté et se tromper, ce n’était pas un charlatan…»Fernand Braudel l’incita à fonder un centre de recherches à Paris près du jardin du Luxembourg, pour promouvoir l’histoire quantitative dont l’école des Annales faisait alors la promotion. Mais Mandelbrot se sentait encore à l’étroit au sein de l’establishment mathématique français, qu’il considérait comme excessivement puriste. «Je ne voyais aucune compatibilité entre un poste universitaire en France et la folle ambition qui continuait de me dévorer», écrit-il. C’est pourquoi, électrisé par le retour aux affaires de Charles de Gaulle en 1958 (personnage auquel Mandelbrot semble avoir témoigné une haine particulièrement vive), il accepta l’offre d’un job d’été à IBM, à Yorktown Heights, au nord de New York. C’est là que le scientifique se sentit enfin chez lui.Le père du mot de passe informatique
On peut se demander comment IBM, une grande entreprise aux tendances légèrement bureaucratiques, a pu servir de terrain de jeu à un homme qui était de son propre aveu un franc-tireur. Et pourtant, la fin des années 1950 marqua le début d’un âge d’or pour la recherche fondamentale à IBM.«Nous pouvons facilement nous permettre de financer une poignée de grands scientifiques poursuivant les projets qui leur tiennent à cœur», expliqua le directeur de la recherche à Mandelbrot lors de son arrivée. Mieux encore, il pouvait utiliser les ordinateurs d’IBM pour produire des diagrammes géométriques.À l’époque, la programmation était une activité pénible impliquant le transport par wagons de cartes perforées d’un bâtiment à l’autre. Quand le professeur de lycée de son fils lui demanda de l’aider à mettre sur pied un cours d’initiation à l’informatique, Mandelbrot accepta, mais finit par apprendre que dans tout le comté de Westchesterk des lycéens utilisaient les ordinateurs d’IBM en empruntant son nom. «À ce stade, l’administration du centre informatique n’eut d’autre choix que d’assigner un mot de passe à ses employés, raconte-t-il. Je peux donc me vanter, si le terme convient, d’être à l’origine de l’intrusion policière que constitua cette innovation.»LIRETycoon parano : l'incroyable histoire de John McAfee" class="icons mpics-forward">C’est une nouvelle fois le hasard qui amena Mandelbrot à réaliser la découverte suivante. En visite à Harvard pour y donner une conférence sur les lois de puissance et la répartition des richesses, il tomba en arrêt devant un graphe accroché au tableau dans le bureau d’un professeur d’économie. Ce diagramme avait une forme presque identique à celui qu’il s’apprêtait à présenter dans son allocution; pourtant, il ne décrivait pas la répartition des richesses mais les fluctuations du New York Cotton Exchange."Au fond, la finance est de nature fractale"
Pourquoi la succession des hausses et des baisses dans le marché du coton ressemblait-elle de manière si frappante à la répartition inégale des richesses dans la société? Cela cadrait mal avec la conception orthodoxe des marchés financiers, proposée à l’origine en 1900 par le mathématicien français Louis Bachelier (qui l’avait lui-même calquée sur la description physique d’un gaz en équilibre). D’après le modèle de Bachelier, la fluctuation des prix sur un marché d’actions ou de marchandises est normalement progressive et de faible amplitude; rangées par ordre d’importance de la plus forte baisse à la plus forte hausse, ces variations dessineraient naturellement une courbe en cloche classique. C’est la base de ce qu’on a ensuite appelé l’«hypothèse d’efficience du marché financier».Mais Mandelbrot, à son retour chez IBM, passa en revue à l’aide de ses ordinateurs un siècle de données du New York Cotton Exchange et son examen révéla une structure nettement plus volatile, dominée par un petit nombre de retournements de tendance extrêmes. Tout se passait comme si une loi de puissance était à l’œuvre. En outre, les marchés financiers présentaient à peu près les mêmes fluctuations quelle que soit l’échelle de temps. En considérant la courbe des prix sur un an, puis sur un mois, puis sur une journée, son aspect accidenté ne changeait pas. Autrement dit, l’évolution des prix était autosimilaire, comme les choux-fleurs. «Au fond, la finance est de nature fractale», conclut Mandelbrot.Sa découverte la plus importante
C’est à Harvard, en 1980, que Mandelbrot fit la découverte la plus importante de sa carrière. Par l’entremise de son ami Stephen Jay Gould (un autre champion de l’idée de discontinuité), Mandelbrot fut invité à donner un cours pour montrer comment les idées relatives aux fractales peuvent jeter un jour nouveau sur les mathématiques classiques. Cela l’entraîna à prendre pour objet la «dynamique complexe», une approche abstraite de la théorie du chaos. La dynamique complexe avait pris son essor dans les cercles mathématiques parisiens du début du XXe siècle, mais donna bientôt naissance à des formes géométriques beaucoup trop compliquées pour être visualisées, et le champ de recherche fut abandonné.Mandelbrot vit qu’il était possible de rendre vie à la dynamique complexe en exploitant la puissance de calcul de l’ordinateur. À l’époque, les mathématiciens n’avaient que dédain pour ces machines, et «frissonnaient à la seule idée qu’une machine pût souiller la “pureté” parfaite de leur discipline». Mais Mandelbrot, qui n’était pas puriste pour un sou, se procura un VAX supermini flambant neuf dans le sous-sol du centre scientifique de Harvard. Utilisant les capacités graphiques de la machine comme une sorte de microscope, il se lança dans l’étude d’une figure géométrique générée à partir d’une formule très simple (la seule, d’ailleurs, qu’il se soit permis de mentionner dans son autobiographie).Ce qu’il découvrit, à mesure que l’ordinateur livrait des images toujours plus détaillées de cette figure, était tout à fait inattendu: un monde féerique peuplé de formes arrondies ressemblant à des scarabées, entourées d’explosions de boutons, de boucles, d’ornements, d’hippocampes stylisés et de créatures évoquant des dragons, tous ces éléments étant reliés entre eux par un lâche écheveau de filaments. Il pensa d’abord que les figures exubérantes qu’il voyait résultaient d’un dysfonctionnement. Mais plus l’ordinateur zoomait, plus la structure se révélait précise (et fantastique). Mieux, on pouvait voir qu’elle contenait un nombre infini de copies d’elle-même, à des échelles toujours plus réduites, chacune étant nimbée de ses propres ornements rococo. C’est ce que l’on devait appeler l’«ensemble de Mandelbrot» [...].Jim HoltCet article paru dans la "New York Revue of Books" lors de la sortie des "Mémoires" de Mandelbrot a été traduit par Arnaud Gancel pour "BoOks", n°57, septembre 2014.