L’article d aujourd’hui est le prolongement partiel de celui d’hier sans toutefois s’attacher à décrire davantage le travail de ARTURO AVILA
-« Ce que je continue de trouver étrange , dans ton article d’h ier , est le comportement chaotique et particulièrement dans le domaine des mathématiques pures .Pour ce qui relève du chaos dans la Physique , je me doute bien que dans le Réel , le battement de l’aile d un papillon , puisse arriver à déclencher des catastrophes et sans quoi on parlerait de miracles !
-« C’est la faute de ta formation !Tu ne vois dans les maths que les concepts que tes profs y ont posés :à savoir les rails sages et continus des bijections y=f(x) .Si tu étais allé plus loin , tu aurais par exemple étudié les propriétés de certaines « suites »
-« Qu’ est-ce que c’est encore que ces « animaux là » ?
-« En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les nombres entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier K ce dernier étant appelé « longueur » de la suite .Par exemple si tu prends K=1 , tu vas retrouver a partir de la règle d’obtention des termes de la famille ( règle dite de « récurrence ») : x(n+1 )= x (n ) +K la famille banale des nombres entiers :1 ,2,3 etc jusqu’à l’infini !
-« Mais je ne vois pas de chaos la dedans !
-« Tu es bien trop impatient : prenons le cas d’une « suite logistique »…C’ est une suite simple, mais dont la récurrence n'est pas linéaire. Sa relation de récurrence est :
x_{n+1} = K x_n.(1 - x_n)= Kx_n -Kx² _n et alors calcule ce que va valoir le 1 er terme si x_n= 1 et k=1/10 puis le 2 eme etc
-« x(_2)= 1/10 – 1/1000=99/1000 et x(_3) =99/10000 -99²/ 1000² etc ,
-« Et tu constates quoi ?
-« Les termes diminuent de valeur ,et tendent vers zéro si n s’en va vers l’infini
-« On dit alors que la suite est « convergente » puisqu’ elle va vers zéro, sa population « s’éteint » ! Il y a ensuite des choses qui vont te surprendre suivant les valeurs de ton paramètre K . La suite peut devenir « stable « si k est compris entre 1 et 3 , puis soumise à oscillations si K est compris entre 3 et 3 ,57 .
-« Qu’est-ce que tu appelles « oscillations » ?
-« C’est là, le point ou la majorité des gens font parfois fausse route ….. ils s’imaginent qu’une seule valeur de x suffit pour faire vaciller la stabilité apparente de la réalité et partent dans des extensions philosophiques inutiles ! Or C’ EST FAUX ! Pour une valeur stricte de k tu n’auras toujours chaque fois qu’ une seule valeur de x_(n+1)ET UNE SEULE ! . En revanche pour des valeurs « presqu’égales » à K les valeurs de x_(n+1) vont se mettre à osciller entre des bornes parfois très éloignées et qu’ on appelle des « attracteurs »…..mon graphique te montre le territoire balayé par la suite que je t’ai proposée…..
Et si tu reviens dans la saisie des valeurs du Réel , tu t’aperçois que les mesures n’étant pas parfaites , tu ne sais jamais trop bien comment fixer les « conditions initiales » d’ un phénomène et leur précision absolue .Il existe donc des cas où ce phénomène est tellement sensible et « chatouilleux » vis-à-vis de la précision d’un paramètre K que le phénomène parait d’abord « démarrer sagement » puis partir soudainement dans une valeur effarante !MAIS FONDAMENTALEMENT CE CHAOS MATHEMATIQUE -SI TU LE NOMMES AINSI - RESTE DETERMINISTE !
A suivre