LE POUVOIR DE L' IMAGINAIRE (345) : Le chaos est déterministe!

L’article d aujourd’hui est le prolongement partiel de celui d’hier  sans toutefois s’attacher à décrire davantage  le travail de ARTURO  AVILA

-«   Ce que je continue de trouver étrange  , dans ton article d’h ier , est le comportement chaotique  et particulièrement dans le domaine des mathématiques pures .Pour ce qui relève du chaos dans la Physique , je me doute bien que dans le Réel , le battement de l’aile d un papillon  , puisse arriver  à déclencher des catastrophes et sans quoi  on parlerait  de miracles !

-«   C’est la faute de ta formation !Tu ne vois dans les maths que les concepts  que tes profs y ont posés :à savoir  les rails  sages et continus  des bijections y=f(x) .Si tu étais allé plus loin  , tu aurais par exemple  étudié les propriétés de certaines  «  suites »

-«  Qu’ est-ce que c’est  encore que ces « animaux là » ?

-« En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les  nombres entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier K ce dernier étant appelé « longueur » de la suite .Par exemple si tu prends K=1  , tu vas retrouver  a partir de la règle d’obtention  des termes  de  la famille  ( règle dite de « récurrence ») : x(n+1 )= x (n ) +K   la famille banale des  nombres  entiers :1 ,2,3 etc   jusqu’à l’infini !

-«   Mais je ne vois pas de chaos la dedans !

-« Tu es bien trop impatient : prenons le cas  d’une « suite logistique »…C’ est une suite simple, mais dont la récurrence n'est pas linéaire. Sa relation de récurrence est   :

x_{n+1} = K x_n.(1 - x_n)= Kx_n  -Kx² _n  et alors   calcule ce que va valoir le 1 er terme   si x_n= 1 et k=1/10 puis le 2 eme  etc

-« x(_2)= 1/10 – 1/1000=99/1000  et x(_3) =99/10000 -99²/ 1000²   etc  ,

-«  Et tu constates quoi ?

-«  Les termes diminuent de valeur   ,et tendent vers zéro  si n  s’en va vers l’infini

-«  On dit alors que la  suite est « convergente »  puisqu’ elle va vers zéro, sa population «  s’éteint » ! Il y a ensuite  des choses qui vont te surprendre   suivant les valeurs de ton paramètre K . La suite peut devenir  « stable «  si k est compris  entre 1 et 3  , puis soumise à oscillations si K est  compris entre 3 et 3 ,57  .

-«   Qu’est-ce que tu appelles « oscillations » ?

-«  C’est là, le point ou la majorité des gens font  parfois fausse route ….. ils s’imaginent   qu’une seule valeur   de x  suffit pour faire  vaciller la stabilité apparente de la réalité  et partent dans des extensions philosophiques inutiles !  Or C’ EST FAUX !  Pour une valeur stricte de k tu n’auras toujours   chaque fois  qu’ une seule valeur   de  x_(n+1)ET UNE SEULE ! . En revanche pour des valeurs «  presqu’égales »  à K les valeurs de x_(n+1)  vont se mettre  à osciller entre des bornes parfois très éloignées et qu’ on appelle des «  attracteurs »…..mon graphique te  montre le territoire  balayé  par la suite que je t’ai proposée…..

Bifurcation vers le chaos par doublement de période

Et si tu reviens dans la saisie des valeurs du Réel  , tu t’aperçois que les mesures n’étant pas parfaites , tu ne sais jamais trop bien comment fixer  les «  conditions initiales » d’ un phénomène et leur précision absolue .Il existe  donc des cas où ce phénomène est tellement sensible et «  chatouilleux »  vis-à-vis de  la précision  d’un paramètre K que  le phénomène  parait  d’abord « démarrer sagement »  puis partir soudainement dans une  valeur effarante !MAIS FONDAMENTALEMENT CE CHAOS  MATHEMATIQUE -SI TU LE NOMMES AINSI - RESTE DETERMINISTE !

 A suivre