Les média forcent aujourd’hui notre attention sue notre mathématicien ,nouvelle médaille FIELD , le jeune brésilien naturalisé français ARTURO AVILA ….Et en politique tout est bon a prendre !Ma grand-mère dirait : « Tout ce qui rentre fait ventre ! ».Donc bien sûr pour François Hollande, Artur Avila démontre « l'attractivité de la France dans le domaine de la recherche », et « confirme le rôle de tout premier plan mondial joué par les mathématiques françaises ».Laissons cette para-politique à d’autres blogueurs du site !
Mais pour ceux d’entre vous qui suivent ce cours informel de facilitation à la compréhension de la physique que constitue « LE POUVOIR DE L’IMAGINAIRE » ,ils se rappellent mes divers chapitres sur la théorie du chaos et sur les travaux de POINCARE/LYAPOUNOV/VON NEUMANN/LORENTZ etc .Comme nous sommes en vacances , que mon jardin après cette pluie quotidienne , refuse de finir de se laisser tondre , je vais me montrer indulgent et expliquer l’intérêt des travaux de ce jeune chercheur ….. En partant de très bas !
Lorsqu’on s’intéresse aux mathématiques ,on découvre rapidement l’utilité de relier absolument la définition de la valeur d’une propriété quelconque à un nombre EXACT .Or qu ‘est ce qui rend heureux le mathématicien ( de base ou professionnel) ? C’est de pouvoir décrire la variation continue de cette propriété nommée f (x) par la variation d’une variable x laquelle sera ( selon notre volonté TRES EXACTEMENT continue et précise …….Hélas , l’observation des choses du réel nous oblige à s’écarter provisoirement des maths pour acquérir par des mesures différentes et avec une précision limitée plusieurs valeurs de cette variable x et essayer ensuite divers modèles de lois reliant f(x) et x.Ah quel bonheur quand il est possible d’écrire simplement y= f(x) = 3 x² -x +5 par exemple et d’ en tracer une courbe « parfaite » !Nous déchantons assez vite quand la pratique des mesures dans le réel nous oblige à fixer des imprécisions sur les valeurs de x telles qu’elles se répercuteront nécessairement sur le choix de notre modèle d équation y=f(x) …… Voilà une des raisons qui contribuèrent au développement de la statistique mathématique ……
En outre , au début du 20 ème siècle , ce fut une surprise énorme pour les mathématiciens et physiciens de constater qu’en essayant de prouver la stabilité du Système solaire, Poincaré découvrait un nouveau continent issu des équations rigides de Newton et resté jusqu'alors inexploré ! STABLE , IL NE L EST PAS !Que se passait-il ? Poincaré invoquait la sensibilité aux conditions initiales et/ou leur imprécision…. Les mesures astronomiques étaient elles en définitive bien plus mauvaises que les astronomes le jugeaient ??????
Et bien non ! Et cela va me vaudra quelques remarques si je vous propose quelques embryons d’équations , mais tant pis ! Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps de façon à la fois causale d abord , c’est-à-dire que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent ; et déterministe ensuite , c’est-à-dire qu'à une « condition initiale » donnée à l'instant « présent » il va correspondre à chaque instant ultérieur un et un seul état « futur » possible. L'évolution déterministe du système dynamique peut alors se modéliser de deux façons distinctes ; soit une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire ,soit une évolution discontinue dans le temps.
On introduit alors un concept fort utile : l’état dynamique d’un système est décrit par son « Espace des phases »….. C’est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré… Et pour un système possédant n degrés de liberté, par exemple, l'espace des phases du système possèdera n dimensions. En rappelant alors qu’ une application est donc une fonction dont le domaine de définition est égal à la source ,un système dynamique discret sera généralement défini par une application bijective F de l'espace des phases sur lui-même,et étant donnée une condition initiale x₀ de l'état du système, le premier état suivant est :x₁=F (x₀)et ainsi de suite, de telle sorte que le n-ième état est donné par x n=Fⁿ (x₀) et pour remonter dans le passé, il suffira d’inverser la fonction F …. LAS ! PATATRAS ! Certains exemples de systèmes dynamiques tombent sur des cas où se manifeste une étrangeté de comportement du à l’intervention d’ un attracteur (ou ensemble-limite) qui est un ensemble ou un espace vers lequel le système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations.
.Pour un système dynamique différentiel , on doit considérer le cas où le système physique considéré est non conservatif, l'application F n'est pas bijective et on peut y remarquer aussi l’influence d’ attracteurs …….
De tout cela il résulte que des systèmes dynamiques non linéaires, ou « de temps en temps » linéaires peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes) et c est ce type d’ imprédictibilité qui est appelé chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la théorie du chaos.
Et trés précisement ARTUR AVILA est l'auteur de plus d'une cinquantaine de publications scientifiques consacrés aux systèmes dynamiques qui évoluent avec le temps. Sa spécialité : déterminer la probabilité qu'un système évolue vers tel comportement ou tel autre.
A suivre