Le paradoxe de Russel

On peut formuler le paradoxe ainsi : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors, il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction de nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l'existence d'un tel ensemble paradoxal. Redit dans le langage formel actuel, si l'on pose :

y = {x | x ∉ x}

on a immédiatement que y ∈ y ⇔ y ∉ y,
donc chacune des deux possibilités, y ∈ y et y ∉ y, mène a une contradiction.
Le paradoxe utilise très peu des propriétés de l'appartenance, une relation binaire suffit, ce qui a permis à Bertrand Russell de l'illustrer sous la forme plus imagée, mais qui a la même structure, du paradoxe du barbier. Un barbier se propose de raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier doit-il se raser lui même ? L'étude des deux possibilités conduit de nouveau à une contradiction. On résout le problème en affirmant qu'un tel barbier ne peut exister (ou, en jouant sur les mots, qu'il n'est pas un homme), ce qui ne surprendra personne : il n'y a pas vraiment de paradoxe. Plus exactement la démonstration qui précède constitue justement une démonstration de la non-existence d'un tel barbier.
Pourquoi les choses ne sont-elles pas aussi simples en théorie des ensembles ? Un principe qui semble assez naturel est de considérer que toute propriété, plus précisément tout prédicat du langage, définit un ensemble : celui des objets qui vérifient cette propriété. Mais si l'on utilise ce principe, dit principe de compréhension sans restriction, on doit admettre l'existence de l'ensemble paradoxal, défini par le prédicat « ne pas appartenir à soi-même » -- c'est ce que l'on a fait justement en « définissant »
l'ensemble y = {x | x ∉ x} -- et la théorie devient contradictoire.

Bertrand Arthur William Russell 1872, 1970, fut un mathématicien, logicien, philosophe, épistémologue, homme politique et moraliste britannique.
Considéré comme l'un des plus importants philosophes du XX^e siècle, avec une pensée qui peut être présentée selon trois grands axes.
La logique et le fondement des mathématiques : Russell est l'un des fondateurs de la logique contemporaine. Son ouvrage majeur, est Principia Mathematica .
Il soutint l'idée d'une philosophie scientifique et a proposé d'appliquer l'analyse logique aux problèmes traditionnels, tels que l'analyse de l'esprit, de la matière (problème corps-esprit), de la connaissance, ou encore de l'existence du monde extérieur. Il est ainsi le père de la philosophie analytique.
L'engagement social et moral : il écrivit des ouvrages philosophiques dans une langue simple et accessible, en vue de faire partager sa conception d'une philosophie rationaliste œuvrant pour la paix et l'amour.
Son œuvre, qui comprend également des romans et des nouvelles, fut couronnée par le prix Nobel de littérature en 1950, en particulier pour son engagement humaniste et comme libre penseur. Enfin, il devint membre du Parlement britannique.

Source : Wikipédia