Theorie des nombres

Théorie des nombres

La théorie des nombres, c'est pour moi le coeur des mathématiques. Etudiée depuis des siècles, elle recèle pourtant de fascinants mystères, que je vous invite dans ces pages à explorer avec moi.
Qu'est ce qu'un nombre ? Nous avons tous une idée "naturelle" de ce que sont les nombres entiers, et peut être aussi des nombres rationnels, réels ou complexes. Mais qu'est qu'un nombre ? Quelles sont les propriétés que partagent tous les nombres, "intuitivement" ? Voilà une question à laquelle je voudrais bien répondre !
Savez vous qu'il n'existe pas de définition unique des nombres dans la théorie des ensembles ? Ce fait troublant me fait douter de la validité de la construction standard des nombres. Dans cette théorie, on construit l'ensemble, N, des entiers, puis on dérive progressivement les autres ensembles Q, R, C des entiers. Mais les axiomes de Peano qui sont la base du système des nombres ne donnent pas une définition univoque d'un nombre entier !
Les nombres "réels" sont encore plus déroutants. Créés pour satisfaire notre besoin du définit le "continu", et d'arithmétiser la géométrie, ils ne sont pas exempts de paradoxes. Cantor a montré que les nombres réels sont infiniment plus nombreux que les entiers : il ne peut y a avoir de correspondance bijective entre N et R. Dans la terminologie moderne, on dit que les entiers constituent un ensemble de mesure nulle, ou, de manière équivalente, que si vous choisissez un nombre réel au hasard, il ne sera pas entier (il sera même transcendant) avec une probabilité un. De même, les nombres algébriques, ceux qui sont solution d'une équation polynomiale, constituent un ensemble de mesure nulle dans R. De même les nombres qui ne sont pas "équirépartis", c'est à dire ceux qui n'ont pas autant de zéros que de un dans leur écriture binaire. (et pourtant, on ne sait toujours pas si pi est équiréparti). De même, les nombres calculables, ceux que que l'on peut calculer chiffre par chiffre au moyen d'un algorithme, constituent un ensemble de mesure nulle ! En fait, si vous prenez un nombre réel "au hasard", il ne sera ni entier, ni algébrique, ni calculable, et ce avec une probabilité un. Mais pourtant on ne peut donner aucun exemple d'un tel nombre !
Bon, assez théorisé. Dans ces pages, outre mes idées sur la construction des nombres, vous trouverez des choses intéressantes (j'espère) sur les conjectures de la théorie des nombres (Goldbach, Syracuse, Riemann), et sur les nombres premiers   et leur factorisation.

Bonne exploration !
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