Le Pouvoir de l'Imaginaire (230) : L 'ESPACE et les Mathématiques ( suite)

GEOMETRISER L’ESPACE…. ?OUI..MAIS EST CE TOUJOURS FACILE ?

-«  Je me rappelle  PIERRE   de t’avoir parlé hier des surprises qui t’attendent avec le concept d’ « espace abstrait »…..

- « Oh avant cela ,il y avait déjà quelque chose qui m’avait  surpris  Papy , c’est que pour rendre mathématique  quelque objet  ou quelque espace réel  , on ait besoin  d’autant   réfléchir !Et par exemple de définir  une norme unitaire de distance , d’angle etc.  …..Parce que si tu continues dans ce sens  , l’Antiquité avant de définir  la longueur de leurs arpents ,elle a dû être  obligée  d’inventer auparavant le concept de nombre ou de chiffre  et pour commencer…..Le 1 , l’unité … COMPTER….C’est déjà une invention  d’un bel esprit humain !

-« Tu as raison PIERRE et songe que précisément  c’est pour cette raison que le nombre zéro est apparue historiquement bien  plus tard….Rendre abstrait ce qui n’existe pas ça n’a pas dû être facile  pour nos anciens !

-  C’est pourquoi j’en reviens  à ce qui m’a tant étonné  hier PAPY   , dans ton exemple sur le vide quand tu m’as dit « Il reste , il subsiste encore l’espace qui ne contient plus rien ! »

-« C’est vrai ; Le vide n’est que l'absence de matière ou d’énergie dans un espace défini. Le néant est lui l'absence TOTALE d'existence,  Et si tu veux lui trouver malgré tout une utilité mathématique , accumuler autant de fois que tu voudras le nombre zéro  ça ne suffira pas

-«  En somme le néant c’est la non-existence tout court , tandis que le vide c’ est la non existence de la matière et l’énergie  dans un espace ? C’est ça PAPY ???

- «  Oui mais restons , s’il te plait dans le problème   essayant de mathématiser l’espace par la géométrie : comme l’espace fait partie du Réel , les mathématiques  dans ce cas  essayent de   décrire  par le terme « zéro » le concept d’une localisation précise  d’une non- existence , d’un «  rien local » dans un espace  de   caractéristiques définies …..

-« Explique toi mieux !

-«   Il faut  effectuer une démarche intellectuelle supplémentaire et faire  la différence abstraite  entre le  vrai zéro mathématique PUR qui est synonyme du RIEN ABSOLU    et  que je qualifie de «  zéro statique   car définitif  » et entre le zéro  qui ferait intervenir la réalité  pour n’ y montrer du doigt  qu’une  non-existence passagère   quelque part  , un zéro physique   en quelque sorte  …….

Je vais te donner un exemple d’un  espace abstrait

   Regarde bien ma photo ,Elle est très connue ; c est l’ensemble de tous les nombres possibles .Au centre tu pars de l’espace de  la surface de

-   N: Ensemble des nombres naturels, positif et n'ayant aucune décimal. 0 appartient à cet ensemble.

Puis  tu passes successivement aux surfaces élargies  :

  -   D: Ensemble des nombres décimaux, ayant un nombre fini de décimal

  -   Z: Ensemble des nombres relatifs, n'ayant pas de décimal

   -   Q: Ensemble des nombres rationnels, ayant un nombre de décimal infini mais pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction. (1/3)

   -   R: Ensemble des nombres réels, nombre complexe pour lesquels Y=0 . (π)

-  C: Ensemble des nombres complexes, défini par z=X+iY, avec X,Y des réels.

A ceci EMILE BOREL   a préféré  une autre représentation   d’espace abstrait : un nombre définissable, nommé aussi parfois nombre accessible, ou nombre nommable, correspond à la notion intuitive  de « nombre pouvant être décrit comme un objet mathématique, de sorte que ceux qui en parlent soient assurés qu'ils parlent d'un même et unique nombre ». voir ma photo

Le besoin de cette notion est apparu devant le constat que quasiment tous les nombres réels sont aléatoires et que ceux-ci ne pourraient être désignés qu'en exprimant in-extenso leur développement numérique infini, ce qui est impossible.

L'intervalle [0,1] n'est pas un ensemble dénombrable et regarde ou se situe MAINTENANT  le zero dans ce graphique  ; le nombre omega est le fameux nombre de  CHAITIN   !

-« AIE !aie !  PAPY !VA PLUS LENTEMENT !

-   A suivre