Gymnastique (mathé)matinale - 6 : premiers jumeaux, jamais triplés

Une information scientifique récente (Scientific American) m’a remis en mémoire le sujet des nombres premiers jumeaux (séparés du plus petit espace possible, 2), comme le couple (41,43). Dans le chapitre 4 de mon premier ouvrage, j’avais été fasciné par les conjectures indécidées en arithmétique, comme celle-ci : y a-t-il une infinité de couples de premiers jumeaux ?

Le mathématicien américain Zhang (article ci-dessus) a avancé dans larésolution de cette cojecture en démontrant qu’il y a une infinité de couples de nombres premiers séparés… de 70 millions (p, p + 70 000 000). C’est loin de 2, mais c’est un résultat qui montre qu’il y a une finitude : c'est-à-dire qu’on peut trouver un nombre fini tel qu’il y a un nombre infini de couples de nombres premiers séparés par ce nombre. En commentaire n°5 à l’article précité, joelwmson nous montre en quelques lignes qu’il y a aussi une infinité de couples de nombres premiers consécutifs séparés d’au moins 70 millions (c’est beaucoup plus facile à démontrer que ce qu’a fait Zhang).

WikiCommons, Mme Mevrouw Van Kalken Lieuwen, in Nationaal Archief, Den Haag, Rijksfotoarchief: Fotocollectie Algemeen Nederlands Fotopersbureau (ANEFO), 1945-1989

Bon, c’est pas tout ça, après la culture scientifique voici la culture physique, ou cérébrale – notre gymnastique mathématinale. À vous de bosser maintenant : pourquoi en règle générale ne peut-il y avoir de triplés de nombres premiers (trois impairs consécutifs) ? pourquoi "en règle générale" ? C’est plus facile que Zhang ou que joelwson. Top chrono. Vingt secondes pour la 1^e question, dix pour la 2^nde.

[Ceux qui le veulent peuvent écrire en commentaireun phrase simple, avec ou sans formule, comme s'ils devaient expliquer cela à un collégien.]