L'essence du non

Soit une méthode algorithmique définie, M, (composée de tous les groupes de méthodes connues M1, M2, M3, …, Mn) permettant de déterminer si des suite (Un) quelconques, convergent ou non, en donnant pour résultat M(U) = respectivement 1 ou 0
Soit G la suite de nombres dont les k premiers termes sont algorithmiquement définis comme suit:
1°) k = 0 ; G₀ = 02°) Si M(G) = 1 alors G_k+1= G_k + 13°) Si M(G) = 0 alors G_k+1= G_k4°) Ajouter 1 à k et retour en 2°)
Qu'en est-il de M(G) ?
Si M estime que G converge alors les termes de G seront tous définis par G_k+1 = G_k + 1, ce qui implique que G diverge. Ce qui est contradictoire.
Si M estime que G diverge alors les termes de G seront tous définis par G_k+1 = G_k, ce qui implique que G converge ce qui est contradictoire.
M ne peut donc aboutir à une conclusion définitive qui par construction remettrait en cause la nature même de G.
La convergence de G est donc indécidable par M

Conclusion : quel que soit l'état des méthodes de résolution de convergence connues, il existe toujours des suites de nombres dont la convergence ne peut pas être déterminée par ces méthodes.
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