[Enigme] Voisins de table - voisins rentables

Une nouvelle énigme assez corsée qui devrait plaire aux amateurs de la théorie des jeux, inspirée cette fois d'un exercice posé par le professeur de maths d'un des élèves de l'un de mes confrères professeur particulier.

Notez qu'il s'agit d'un exercice de niveau terminale S, donc on ne peut utiliser que les notions vues à ce niveau du programme.

Voici l'énoncé :

Dix personnes sont autour d'une table. Dix jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque joueur gagne une somme égale (en €) au total des nombres inscrits sur son jeton ainsi que sur ceux de ses voisins de gauche et de droite.

Ainsi peut-on affirmer : "Au moins une des dix personnes aura un gain au moins égal à €".

Quel est le plus grand nombre que l'on peut mettre à la place de ?

A vos neuronnes !

N.B. : l'énoncé est un peu alambiqué. Il s'agit de trouver le plus petit gain maximal qu'on est certain d'obtenir quelle que soit la configuration. Il faut donc trouver le min du max...

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- Indice 1 (cliquer pour développer) Démontrez que le gain moyen par joueur est égal à 16,50 €. - Indice 2 (cliquer pour développer) Commme il s'agit de trouver quel est le gain minimum , parmi les gains maximaux possibles, on peut facilement éliminer tous les gains inférieurs à la moyenne... - Indice 3 (cliquer pour développer) Démontrer par l'absurde que l'hypothèse est impossible.

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- Solution (cliquer pour développer) Note : la résolution de cette énigme est inspirée fortement d'une solution proposée par @cours2maths (téléchargeable à cette adresse : blog.cours2maths.com) à l'aide des contributions de @courmpc et de moi-même.
Pour ne pas rebuter trop de monde, j'ai choisi de passer le plus possible par le français en évitant les formules.La résolution de cette énigme se fera en deux étapes :

1. Calcul du gain moyen par joueur
2. Recherche du gain minimal parmi les gains maximaux possibles.

Etape 1. Gain moyen par joueur.

Les numéros tirés par les joueurs sont tous distincts 2 à 2, mais les gains peuvent être identiques.

Notons la somme des gains de chaque joueur.
Puisque le gain de chaque joueur est la somme de trois entiers distincts pris entre 1 et 10, effectuer la somme des gains des joueurs est équivalent à calculer trois fois la somme des entiers de 1 à 10 (l'addition est associative. C'est évident, mais ça va mieux en le disant). Cette somme étant égale à 55 ( avec ), la somme des gains des joueurs est de 3*55=165 :

Notons le gain moyen par joueur.
Comme il y a 10 joueurs et que les configurations sont toutes équiprobables, le gain moyen est  :

Etape 2. Recherche du plus petit des gains maximums.

2.1 Amplitude des gains.

Le plus petit gain pour un joueur donné est de 6 €. En effet, la somme minimale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est .
Le plus grand gain pour un joueur donné est de 27 €. En effet, la somme maximale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est .
Donc les gains de tous les joueurs sont des entiers compris entre 6 et 27.

Le nombre recherché, qui représente le plus petit des gains maximaux, est donc un entier compris entre 6 et 27.

2.2 Peut-on avoir ?
Dans toute série statistique, le maximum est toujours supérieur ou égal à la moyenne. en tant que gain maximum est donc nécessairement supérieur ou égal à .
Par conséquent, ne peut pas être inférieur à 16,5.

Donc est au moins égal à 17.

2.3 Peut-on avoir ?

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une configuration dans laquelle on a exactement gains de 17 €. Nous aurons donc gains inférieurs ou égaux à 16 € (80=16x5). Notons la somme des gains inférieurs ou égaux à 16 €.
Les deux relations suivantes doivent alors être vérifiées :

De on déduit . En injectant ce résultat dans la seconde inégalité , on obtient après quelques lignes de calcul élémentaire .

Conséquence : s'il existe une configuration dans laquelle on a un gain maximum à 17€, alors il y a nécessairement au moins 5 gains à 17 €.

Considérons pour l'instant le cas .
La somme des 5 autres gains est alors de 80 (). Comme ce sont des entiers inférieurs ou égaux à 16€, ils sont tous égaux à 16 €. Nous avons donc 5 gains à 17 € et 5 gains à 16 €.

Numérotons avec variant de 1 à 10 les joueurs dans leur ordre consécutif autour de la table. Par ailleurs, notons le numéro figurant sur le jeton tiré par le joueur et le gain du joueur .

Montrons que, sous les hypothèses courantes (à savoir et ) deux joueurs successifs ne peuvent pas avoir le même gain.
Considérons arbitrairement les joueurs 5 et 6 (le raisonnement qui suit tient pour tous couple de joueurs consécutifs mais raisonner sur et complique la démonstration car les chiffres 10 et 1 sont consécutifs dans l'ordre de la table).
On a,

De là on voit que implique ce qui est impossible puisque les numéros des jetons sont tous distincts. Donc deux joueurs voisins ne peuvent pas avoir le même gain (ce raisonnement tient aussi pour ).

La seule distribution possible est donc une alternance de gain à 16 € et 17 €.
Posons arbitrairement la répartition suivante :

etc.

Alors, donne :

ou encore :

ce qui est impossible puisque les jetons sont tous différents.

Donc la seule possibilité restante est que soit supérieur à 5. Or, dans ce cas, on aura nécessairement deux joueurs consécutifs avec un gain égal à 17 €, ce qui, nous l'avons montré plus haut, est impossible.

Nous avons envisagé tous les cas pouvant donner un plus petit gain maximal égal à 17 € et avons obtenu à chaque fois un résultat absurde.

L'hypothèse est donc exclue.

2.3 Peut-on avoir ?

@courmpc a fait la proposition de répartition suivante donnant un gain maximum égal à 18 €.

Conclusion : .

Au moins une des 10 personnes aura un gain au moins égal à 18 €.

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