C’est maintenant que je rentre dans le cœur de mon sujet mais la conjecture ABC ne date en réalité que d’une trentaine d’années : c’est de la Science toute neuve ! Elle a été formulée pour la première fois par Joseph Oesterlé (1988) et David Masser (1985). Elle est proposée en termes de trois nombres entiers positifs, a, b et c (d'où son nom), qui n'ont aucun facteur commun et satisfont a+b=c . Si d est le produit des facteurs premiers distincts de abc,( le radical) alors la conjecture affirme en gros que d ne peut pas être beaucoup plus petit que c. Nous en revenons donc à nous lancer déjà dans l’étude et même je devrais dire dans la jungle , des nombres premiers !!!!!!
Alors puisqu’il en est ainsi , retournons un moment sur les extraordinaires propriétés de ces nombres premiers…..
Cela va vous sembler étrange mais pour les premiers mathématiciens grecs , la notion de UN comme nombre n’existait pas au début …UN , c’était ce selon quoi chacune des choses existantes est déclarée unique… et pour eux un « vrai nombre » c’était d’abord un assemblage composé d'unités donc d’ENTIERS ….. Heureusement leur conception a muri et ils ont pénétré dans les mystères de l’arithmétique avec beaucoup plus de souplesse …… Et comme les problèmes de la vie courante et concrète étaient les plus pressants , ils se sont alors aperçus que diviser les choses , les surfaces , les bêtes , les gens , les sous etc. par un nombre entier çà n’était pas toujours aussi facile que de partager en deux !!!!!
D’où l’invention de ces véritables « atomes de base de l’ arithmétique » que sont les nombres premiers : ils ne sont exactement divisibles que par eux-mêmes ou par l’unité UN ……
Je ne vais pas ( tranquillisez-vous) vous décrire ces nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 etc ) , définir comment on en dresse la liste et combien il y en a …..Sachez toutefois que leur nombre est infini et qu’ il a fallu atteindre le XIXe siècle, pour qu’une formule donnée par Legendre et Gauss, montre qu’on pouvait tracer le graphique de croissance de cette fonction de décompte des nombres premiers par la fonction équivalente à y=x/ln (x) quand x entier tend vers l'infini ….MAIS PAR AILLEURS , lim x/lnx :x =0 donc quand x augmente les nombres premiers deviennent de plus en plus rares !
Vous allez alors me dire que savoir tout cela ne sert qu’ à apprendre aux jeunes élèves à chercher comment diviser n’importe quel nombre entier N et si cela se peut ( pgcd,ppcm)…..ET à donner du plaisir aux savants mathématiciens pour résoudre certains types d’équations ….parce que vous personnellement vous n’avez jamais eu à partager un gâteau par 97 ou 383 !!!! Vous auriez eu raison jusqu’en 1970 car c’est vrai ,les nombres premiers, et la théorie des nombres en particulier, ont longtemps été vus presque comme un jeu purement mathématique, avec peu ou pas d'applications extérieures…..Mais cela changea alors d'un seul coup quand des nouveaux systèmes de cryptographie basés sur les propriétés des nombres premiers furent découverts. Et en cryptographie asymétrique deux clés sont utilisées : l'une sert à chiffrer, l'autre à déchiffrer. La clé permettant de chiffrer est accompagnée d'un grand nombre entier, le produit de deux grands nombres premiers gardés secrets (de l'ordre de 200 chiffres). Et vous pouvez toujours courir pour calculer la clé de déchiffrement, la seule méthode connue nécessite de connaître les deux facteurs premiers ! c’est ce système qui permet aujourd’hui de créer ces signatures numériques inviolables qu’ on nous demande maintenant à profusion !
Venons-en en dernière analyse à notre conjecture ABC ; puisque n’importe quel nombre entier est décomposable en un produit de facteurs premiers , on pourra écrire par exemple :N= aᵡbᵏcᵒ où a ,b ,c x ,k et o seront des entiers …..Il se trouve , que les mathématiciens ont des manies : défigurer le sens des mots pour se créer leur petit langage d’initié et que les nombres premiers portés à une puissance élevée sont qualifiés de » nombres riches » !!!!!
Ainsi 2 puissance 11 = 2048 est le plus riche de tous les riches entre les nombres 2 et 2048 …..et ces nombres riches sont en vérité assez rares ainsi que vous le montre ma photo 3D bizarrement plantée de leurs pics
Mais il devient encore plus rare que la somme de deux entiers riches reste encore un nombre riche et c’est la conjecture abc qui éclaircit cet énoncé SI ELLE SE REVELAIT VERIFIEE !
En août 2012, le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki a publié un article sur sa page personnelle où il annonce avoir démontré cette conjecture………..
Arrivé à ce point mon petit fils PIERRE aurait envie de me jeter son livre de maths à la tète ! « Passe encore PAPY que tu codes des cartes, des puces, des produits tartempion etc…. mais que vas-tu tirer de CONCRET de ta conjecture ABC ? Grands Dieux ! »
« AH mon Pierre tu te montres bien ingrat envers les mathématiques « pures » …..Si cette conjecture est vérifiée, plein de théorèmes importants en théorie des nombres, parmi lesquels :
le théorème de Roth, le théorème de Baker, le théorème de Bombieri-Vinogradov le théorème de Faltings , la conjecture de Pillai , la conjecture de Fermat-Catalan ou le problème de Brocard en découlent tout seuls ! ….Mais surtout avec la conjecture ABC, pas besoin de cent pages pour démontrer le célèbre grand théorème de Fermat, une simple marge de livre peut suffire alors qu’ il a fallu 500 pages de calcul à Andrew WILES pour le démontrer il y a 15 ans ….PERMETS MOI alors de te rappeler ces vers si profonds de BAUDELAIRE /
« La Nature est un temple où de vivants piliers
Laissent parfois sortir de confuses paroles;
L'homme y passe à travers des forêts de symboles
Qui l'observent avec des regards familiers …… » ( moi j’aurais écrit : qui le narguent avec des regards familiers !)
Jeu de briques
Snake
Pacman
Bubble