Le Poids sur Terre

La semaine dernière, une ancienne camarade de promotion qui travaille en Floride me demande :

« Sais-tu ou je peux trouver la valeur de l’accélération gravitationnelle de la Floride. Il semble qu'il y ait une différente significative entre Paris et ici, du coup problème pour la vente d'instruments de mesure en Floride si le calibrage est fait à Paris!!! »

Elle travaille dans une boite qui fabrique des appareils de mesure de force et de couple (Com-Ten) à Saint Petersburg en Floride et si ces appareils sont assez sensibles, il y a effectivement une différence entre Paris et la Floride. C’est pour cette raison que les fusées américaines décollent de la Floride à Cap Canaveral (le Cap Kennedy) et que les fusées françaises décollent depuis Kourou en Guyane Française, juste au dessus du Brésil. Reste à comprendre pourquoi exactement nous sommes moins lourds près de l’équateur que près des pôles.

Je vous rappelle rapidement la différence entre le poids et la masse. Un objet possède une masse exprimée en kilogramme, elle est intrinsèque à l’objet. Par exemple ma voiture à une masse de 820Kg (oui c’est peu, c’est parce que je roule en Twingo). Le poids, quant à lui, est une force exercée par la Terre sur les objets possédant une masse et il s’exprime en Newton (l’unité officiel pour les forces). Toute masse produit un champ de gravité exerçant une accélération gravitationnelle (c’est la fameuse force de gravitation). L’accélération provoquée par la Terre est d’environ 9,8 m/s² sur les objets.

Cela signifie qu’un objet qui « tombe » dans le champ de gravité de la Terre est accéléré de 9,8 m/s à chaque seconde (9,8m/s = 35,28 km/h). Notez que la vitesse est indépendante de la masse de l’objet qui tombe. Si ma Twingo de 820Kg, un Hummer H1 de 3500 Kg et mon stylo de 30g tombent sur Terre en chute libre (en négligeant les frottements de l’air) les 2 voitures et le stylo auront une vitesse de 35 km/h après 1seconde de chute, 353 km/h après 10 secondes de chute etc… A cause des frottements de l’air, ces vitesses sont évidemment réduites.

On pose comme hypothèse que l’objet pesé est immobile (pas de force de Coriolis), qu’il est pesé sous vide (on néglige le Poids de l’air) et que les forces de marées dus à la Lune et au Soleil sont négligeables. Dans ce cadre, l’accélération gravitationnelle ressentie g (en magenta sur la figure) à la surface de la Terre (autrement dit, notre poids apparent) est principalement composée de 2 forces :

- La force de gravité exercée par la masse de la Terre (en rouge) Elle est inversement proportionnelle au carré du rayon de la Terre et de l’altitude et est dirigée vers le centre de la Terre. ga = (G * M)/(R+z)² avec G la constante de gravitation, M la masse de la Terre, R  le rayon de la Terre et z l’altitude.
- La force centrifuge provoquée par la rotation de la Terre sur elle-même (en bleu). Cette force varie selon la latitude. Elle est maximale à l’équateur et inexistante aux pôles. gc = d * O² avec d la distance entre l’objet pesant de l’axe de rotation de la Terre et O la vitesse angulaire de rotation de la Terre.

En faisant quelques recherches, je me suis aperçu qu’il est extrêmement difficile (voir impossible) de calculer à partir de formules simples sa distance jusqu’au centre de la Terre avec une bonne précision car la Terre n’est pas ronde et le rayon n'est donc pas constant. Elle est très irrégulière et aplatie aux pôles. Le meilleur modèle que j’ai pu trouvé est le modèle de la Terre ellipsoïde utilisé dans les GPS avec le système géodésique WGS 84. On assimile dans ce cas la Terre à une ellipse, son demi grand axe à l ‘équateur est égale à a= 6378.137 km et son demi petit axe au pôle est égale à b= 6356,7523142 km. De cette manière on peut calculer le rayon à une latitude donnée telle que :
J’ai donc appliqué tous ces petits calculs pour calculer l’accélération gravitationelle à l’équateur, au pôle, à Paris et à Miami. Voici mes résultats :

  EQUATEUR POLE PARIS MIAMI

Latitude 0° 90° 48,51° 25,47°

rayon 6378 km 6357 km 6366 km 6374 km

g 9,766 m/s² 9,866 m/s² 9,822 m/s² 9,785 m/s²

J’ai comparé mes résultats avec les résultats fournis par l’Agence Nationale d’Imagerie et de Cartographie américaine qui s’occupe du GPS et j’observe une erreur relative maximum de 0,1%, ce qui est raisonnable…

On observe une différence d’accélération supérieure à 1% entre les pôles et l’équateur et de 0,38% entre Paris et Miami, ce qui n’est pas négligeable.

Une personne vivant à Paris de 80kg aura l'impression d'être plus légère de 300 grammes à Miami (environ 3 Newtons de moins sur le Poids).

Mieux, pour une fusée style Ariane 5 qui à une masse de 750 tonnes au décollage, il y a un écart de 28 000 Newton entre Paris et Miami. C’est comme si la fusée « pèse » 2,8 tonnes de moins à Miami qu’à Paris. Voilà donc pourquoi on lance les fusées près de l’équateur !!

par Benjamin Bradu publié dans : Science et Technique