On prend un carré de côté 1, et on décompose ses côtés en n segments égaux, donc un quadrillage de n² petits carrés qu'on va densifier. On trace
la courbe violette qui part, comme la diagonale, d'en bas à gauche pour aller en haut à droite, mais en suivant des marches d'escalier comme
indiqué.
La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses éléments verticaux se
superposent au côté vertical de longueur 1, et ses éléments horizontaux se superposent au côté horizontal de longueur 1.
Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on décompose en deux à chaque fois, n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe
violette et la diagonale se compose de 2n triangles de côté 1/2n donc de surface 1/8n². Cette surface vaut 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait croître n : la courbe violette se
rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale. Soit ce paradoxe qui nous ferait dire 2 = √2.
J'aime bien une première explication avec les fractales. La courbe composée des petits triangles est de périmètre constant égal à 2 et
délimitant une surface (comprise entre la courbe et la diagonale) nulle à l'infini (1/4n). C'est une fractale de dimension inférieure à 1, une « poussière de
points (ou poussière de Cantor) » (pour ceux qui connaissent les dimensions fractales, on a P = facteur de similarité = 2, Q = facteur d'homothétie = 4, Dimension= LogP/LogQ= ½).
Dans le flocon fractal, on « crée de la matière » (dimension fractale comprise entre 1 et 2) ; dans les poussières de points, on « évide de la matière » (dimension fractale comprise entre 0 et 1)
; mais cette poussière de points reste non dénombrable, ce qui explique qu'en fait « 2 n'est pas égal à √2 ».
J'ai trouvé une autre explication dans Albert Jacquard, L'équation du nénuphar : il invoque aussi Cantor pour indiquer que le nombre de
tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 ».
Ces deux explications ne sont pas contradictoires, si vous avez vous-même d'autres idées d'interprétation, n'hésitez pas à nous en faire part
en commentaires !