De l’esthétique des fractions continues (2)

J'avais déjà parlé de l'article sur Galois dont je suis co-auteur dans BibNum en décembre, à propos des fractions continues, tout à fait fascinantes.

Nous avons récemment publié une annexe complémentaire à cet article, intitulé "Quelques variations sur les fractions continues", sous forme de quelques exercices amusants sur la représentation du nombre d'or en fraction continue. En particulier, on demande de démontrer une des formules suivantes, assez amusantes (elles sont toutes trois équivalentes) :

Exercez-vous à démontrer ces formules (attention, n'essayez pas de réduire au même dénominateur !). Une indication : commencez à vous intéresser au premier membre [dans chaque équation] - vérifiez qu'il s'agit bien du nombre d'or qui vérifie une équation algébrique bien connue. Sinon allez voir les solutions dans l'annexe de l'article BibNum (onglet "Analyse" ou PDF "à télécharger").

Les fractions continues sont passionnantes car c'est un mode de REPRéSENTATION d'un nombre, finalement au même titre que son écriture décimale. Le nombre d'or (qui n'est là que comme exemple), c'est

a) 1,618 033.... ?

b) 1/2 (1+√5) ?

c) la fraction continue composée de 1 ci-dessus ?

Finalement, laquelle de ces trois REPRéSENTATIONS a plus de valeur que l'autre ? À méditer...