Une farine, une galette, un pain, du riz peuvent être complets lorsqu'ils contiennent tous les éléments qui les constituent dans leur état premier .
Un hôtel dont toutes les chambres ont été réservées est dit complet .
Ces exemples sont très clairs .
En philosophie, un système formel est complet s'il permet de démontrer, pour toute expression, soit l'affirmation, soit la négation de cette expression.C'est un peu plus abstrait mais on comprend bien le concept .
En mathématiques, on dit d'un objet qu'il est complet pour exprimer que « rien » ne peut lui être ajouté, en un sens qui doit être précisé dans chaque contexte : Complétude, mesure complète ou espace complet sont trois contextes différents:
Cela se complique donc. Un espace métrique M, pour prendre cet exemple, est complet si toute suite de Cauchy de M converge converge dans M . Intuitivement, c'est un ensemble où il n'y a pas de trous, de "coupures". L'ensemble des nombres réels est complet mais celui des rationnels ne l'est pas puisque la racine carrée de deux, par exemple, n'est pas un rationnel alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels tendant vers racine de deux. En résumé, l'ensemble des réels est complet parce qu'il est sans "coupures"; pourtant, ce même ensemble peut être construit en juxtaposant toutes les coupures (de Dedekind) de l'ensemble des rationnels !
La notion de complétude , qui semblait à priori claire et simple est donc en réalité plus complexe qu'il n'y paraît.
Même en gastronomie : Un pain complet, par exemple, est éminemment difficile (pour ne pas dire impossible) à déguster, car dès qu'on en a mangé un morceau, ce pain n'est plus complet !Ci dessous, vous pouvez voir les photos de deux plats complets déjà entamés. S'agit-il encore de plats complets ?
Pour un hôtel, le concept paraissait très simple aussi mais là encore ce n'était qu'une apparence !L'hôtel de Hilbert, par exemple, est un hôtel qui possède un nombre infini de chambres toutes occupées. On pourrait penser à priori que cet hôtel est complet . Pas du tout ! L'hôtelier peut toujours accueillir un nouveau client. Pire, il peut même accueillir une infinité de nouveaux clients !