Les nombres narcissiques et autres prétentieux

On connaît pas mal de nombres ayant du caractère: certains sont complexes, ils se plaisent à posséder une partie imaginaire, et même hypercomplexes, d'autres sont entiers, certains sont naturels et d'autres bien relatifs. Les nombres transcendants sont peut-être portés vers la philosophie. Il en est qui aiment à se dire réels ( comme s'il pouvait en exister d'irréels ). Les plus spectaculaires sont certainement les irrationnels qui aiment à se distinguer des rationnels. Certains ont de la suite dans les idées et font dans les mathématiques discrètes. Mais il est aussi des nombres qui aiment à se faire remarquer et jusqu'aux narcissiques qui se complaisent à se regarder le nombril.
Regardez-moi ce 12345679, voilà qu'il s'est fait ôté un 8, et tout cela pour qu'on le multiplie par un multiple de 9, essayez-donc, il n'en sera que plus ravi ce prétentieux, de se voir ainsi multiplié par 9, 18,27 et ainsi de suite et d'obtenir une série de clones 11111111, 22222222...!

Il y a aussi 15873 qui nous fait le même coup avec les multiples de 7, comme si un seul ne suffisait pas.

Et puis il y a ces nombres qui se prennent pour des cristaux, à les écouter se serait même des diamants. Les voilà qui arrivent ces 15 et ce 16, les 15 emboîtés dans le 16... quel manque de goût:
16
1156
111556
11115556
1111155556
Et tout cela pourquoi ? Pff, simplement pour montrer qu'ils connaissent bien les 3 et le 4
4² =16
34² =1156
334²
3334²
33334²
Quelle vanité.
Et regardez moi ces fractions, exhibant leur dix chiffres, tous différents, et tout cela pour quoi? Pour que l'on voit que ce sont des nombres entiers:

97302/48651=2
26970/13485
96174/32058=3
50382/16794
94860/23715
60948/15237
93270/18654
67290/13458
98532/14076
98760/12345
83672/10459
97524/10836
95742/10638

Et si ce n'était que cela... Mais non, il y a ceux qui veulent être à la mode. Regardez-moi ça, ces palindromes qui se précipitent! Et pourquoi? Pour être premiers, quelle affaire, quelle utilité?
188888881
199999991
322222223
355555553
722222227
111181111
111191111
777767777
Tout cela pour copier sur les aînés, bien plus célèbres qu'eux, les palindromes carrés de 1, mais si rappellez-vous:
1 = 1²
121 = 11²
12321 = 111²
1234321 = 111²
..............................

Si je vous dit que vous n'avez encore rien vu, vous ne me croirez pas !
Je connaissais les nombres parfaits qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs ( sauf lui!) , comme 6 par exemple dont les diviseurs sont 1,2 et 3 et 1+2+3=6.
Je connaissais aussi les nombres amiables qui sont des couples de nombres dont la somme des diviseurs de l'un donnent l'autre...

Allez faire un tour ICI pour les rencontrer, l'endroit est de solide réputation et vous n'y risquez rien.

Attention, ce que je vais vous confier maintenant va peut-être vous choquer, mais il est important que le monde entier sache qu'il existe une espèce de nombres pire que les autres. Celle de ceux qui ne cessent de se regarder le nombril, celle de ceux qui risquent à tout instant de tomber amoureux de leur propre reflet, il s'agit des nombres narcissiques.

Un nombre narcissique d'ordre k est un nombre qui est égal à la somme de ses chiffres élevés à la puissance k.
Si on les connaît moins bien que les autres et qu'on a bien du mal à soupçonner leur existence, c'est qu'il n'en existe pas de 2 chiffres et que 1 n'a que peu d'intérêt.
Le plus petit connu est 153, il est d'ordre 3, en effet:

153 = 1³ + 5³ + 3³

Le suivant c'est 370 car :
370 = 3³ + 7³ + 0³

Il y a même son successeur 371 qui penche vers l'égo surdéveloppé....
Le plus grand posséderait 39 chiffres et ce serait :

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Je demande à voir.
Ensemble ils forment même des cycles. Allez donc voir ICI et vous aurez plus de renseignements, mais ne vous étonnez pas si l'atmosphère n'est pas très respirable tellement ce lieu est peuplé d'individus imbus de leur personne.
Vous croyez avoir tout vu? Mais non, j'en ai encore à vous apprendre, d'autres nombres peuvent aussi se regarder le nombril et être qualifiés de narcissiques car on  peut s'inventer la règle que l'on souhaite.

Par exemple:

Regardez moi ceux là dont les puissances sont égales aux chiffres :

3435 = 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵

438 579 088 = 4⁴ + 3³ + ... + 8⁸ + 8⁸

Et ceux là :

81  = (8+1)²

512  = (5+1+2)³

2401  = (2+4+0+1)⁴

Ragardez moi-aussi ceux là :

135 = (1+3+5)x1x3x5

114 = (1+4+4)x1x4x4

Y en a-t-il d'autres ? Mystère, restez vigilants.
On vient même d'en croiser avec des factorielles....

Mais si regardez:
2 = 2!
145 = 1! + 4! + 5!
45 085 = 4! + 5! +0! + 8! + 5!

Suite à une enquête quasi-policière de Pierre Tougne dans la revue "Pour la Science" de décembre 1982, on a même appris que ce réseau très structuré dans la base 10 possédait des ramifications dans d'autres bases.

On a trouvé en base 3, le chef du réseau semble-t-il:  un nombre narcissique hyperparfait :
Son ordre , son nombre de chiffres et et sa base sont tous égaux!

Cela fait peur non ?

Il s'agit du nombre 122 en base 3

  (122)₃ = 17 = 1³ + 2³ + 2³

 

Restez vigilants et n'hésitez pas à témoigner si vous possédez quelques renseignements supplémentaires. L'enquête remonte à plus de 25 ans...
Pour un rappel sur la base des bases c'est ICI