Depuis que je suis tout petit je m'intéresse à la musique et au piano car j'en ai un peu pratiqué avec Mme Durca à l'Ecole Municipale de Musique de Montmagny dans le Val d'Oise. La gamme musicale do ré mi fa sol la si do est subdivisée en douze demi-tons. On trouve donc le même intervalle entre deux notes successives : do et do#, mi b et mi.
En mathématiques, chaque note est une fréquence ainsi le célèbre "la 440" que l'on entend lorsque l'on décroche le téléphone correspond à 440 Herz soit 440 pulsations par secondes.
Souvent dans des reportages sur des surdoués en mathématiques ou des gamins qui passaient le bac bien en avance, j'ai pu constater qu'il y avait des musiciens, soit des pianistes soit des violoniste. Ce n'est pas un hasard si Sherlock Holmes le roi de la logique joue du violon.
On peut donc présenter la gamme par le schéma suivant :
1 do fréq
2 do # = ré b X x fréq
3 re X^2 x fréq
4 ré # = mi b X^3 x fréq
5 mi X^4 x fréq
6 fa X^5 x fréq
7 fa # = sol b X^6 x fréq
8 sol X^7 x fréq
9 sol # = la b X^8 x fréq
10 la X^9 x fréq
11 la # = si b X^10 x fréq
12 si X^11 x fréq
13 do X^12 x fréq 2 x fréq
légendes
# = dièse, b = bémol, fréq = fréquence de base correspondant au do,
X = nombre unique auquel on multiplie une fréquence pour obtenir la note suivante soit un demi-ton au-dessus
La gamme étant subdivisée en 12 demi-tons, il faut multiplier 12 fois la fréquence du début de la gamme pour obtenir la même note dans l'octave supérieur.
Or on constate que l'octave supérieur est également donné en multipliant par 2 la fréquence de la note de base, par exemple le la 880 est le la de l'octave supérieur au la 440.
On a donc l'égalité X^12 x fréq = 2 x fréq soit X = 2^1/12 soit la racine douzième de deux, élémentaire mon cher Watson !
En savoir plus :
- Le Problème de la Gamme musicale
- Gamme tempérée, racine douzième de deux par Staross
- La Gamme tempérée sur Wikipédia
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