La page du mardi 2 février 2010

Idiomathique du jour

Trop d'élèves subissent l'enseignement des mathématiques comme un véritable mathraquage.

Lakatos, preuves et réfutations

Le logicien Imre Lakatos est mort le 2 février 1974.
Il nous a laissé son livre "Preuves et réfutations" dans lequel, en étudiant l'exemple de la découverte de la formule d'Euler sur la relation existant entre les nombres de sommets, faces et arêtes d'un polyèdre, il montre que les mathématiques peuvent laisser place à la controverse et que les erreurs et les réfutations sont finalement sources de découverte. On y voit par exemple comment on fait évoluer une définition pour sauvegarder un théorème, ce qui renverse la vision traditionnelle qu'on peut avoir des mathématiques.
Ce livre nous montre que la rigueur n'a pas toujours eu les même critères, qu'elle a une histoire. Cela peut-il remettre en question notre tendance à prétendre la rigueur aujourd'hui achevée ?
Le livre sur amazon ...

Bertrand Russell

Le mathématicien, logicien, philosophe, épistémologue, homme politique et moraliste britannique Bertrand Arthur William Russell est mort le 2 février 1970.
Russell est, avec Frege, l'un des fondateurs de la logique contemporaine. Son ouvrage majeur, écrit avec Alfred North Whitehead, est Principia Mathematica. À la suite des travaux d'axiomatisation de l'arithmétique de Peano, Russell a tenté d'appliquer ses propres travaux de logique à la question du fondement des mathématiques. On lui doit notamment le célèbre paradoxe de Russell à cause duquel l'ensemble des ensembles ne peut pas être un ensemble.
Russell a aussi largement participé à la vie politique de son époque. Il s'est engagé dans de nombreuses polémiques qui le firent qualifier de Voltaire anglais, défendit des idées proches du socialisme de tendance libertaire et milita également contre toutes les formes de religions, considérant qu'elles sont des systèmes de cruauté inspirés par la peur et l'ignorance. Il organisa le tribunal Sartre-Russell contre les crimes survenus pendant la guerre du Viêt Nam.
Pour en savoir plus, on pourra se reporter au livre "La philosophie mathématique de Bertrand Russell" de Denis Vernant (2000) à feuilleter sur Google-Livres ou à commander sur amazon.
En cette époque du "Travailler plus...", on pourra aussi lire son Éloge de l'oisiveté sur Google-Livres.
On trouve sur Wikipédia une page bizarrement intitulée "2+2=5" dans laquelle est relatée l'anecdote suivante :
Le philosophe et logicien britannique Bertrand Russell (1872-1970), afin d'illustrer le principe selon lequel n'importe quelle proposition peut être déduite d'une proposition fausse, a eu recours à cette identité mathématique.
À un de ses étudiants en philosophie qui lui demandait :
« Prétendez-vous que de 2 + 2 = 5, il s'ensuit que vous êtes le pape ? »,
Russell proposa la démonstration suivante :
1. Supposons que 2 + 2 = 5.
2. Soustrayons 2 de chaque membre de l'identité. Nous obtenons 2 = 3.
3. Par symétrie, 3 = 2.
4. Soustrayant 1 de chaque côté, il vient : 2 = 1.
5. Maintenant, le pape et moi sommes deux. Puisque 2 = 1, le pape et moi sommes un. Par suite, je suis le pape.
Quelques citations

Toute connaissance accessible doit être atteinte par des méthodes 
scientifiques ; et ce que la science ne peut pas découvrir, 
l'humanité ne peut pas le connaître.

Ce que les hommes veulent, en fait, ce n'est pas la connaissance, 
c'est la certitude.

La philosophie tire sa valeur de son incertitude même.

L'homme est un animal crédule qui a besoin de croire. En l'absence 
de raisons valables de croire, il se satisfait de mauvaises.

L'humilité chrétienne est prêchée par le clergé et pratiquée par 
les ouailles.

Tout le problème de ce monde, c'est que les idiots et les 
fanatiques sont toujours si sûrs d'eux, tandis que les sages sont 
tellement pleins de doutes.

L'objet de la philosophie, c'est de partir d'une chose si simple 
que ça ne vaut pas la peine d'en parler et d'arriver à une chose 
si compliquée que personne n'y comprend plus rien.

Charles Méray

Le mathématicien français Charles Méray est mort le 2 février 1911.
En 1869, il donne, le premier, une construction rigoureuse des nombres réels. Cette construction est fondée sur la considération de classe d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels.
On trouve sur Gallica, plusieurs écrits de Méray qui méritent qu'on s'y attarde :
- Considérations sur l'enseignement des mathématiques
Selon Méray, l'enseignement des mathématiques allait déjà très mal; mais il ne se contente pas de critiquer, il donne des exemples de cours...
- Nouveau précis d'analyse infinitésimale
- Nouveaux éléments de géométrie

Kazimierz Kuratowski et son couple

Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski est né le 2 février 1896.
Il s'est intéressé à la théorie des ensembles et a donné la définition axiomatique des couples (x,y) à partir de l'ensemble {{x},{x,y}}.
En topologie, avec Alfred Tarski et Waclaw Sierpinski, il a développé la théorie des espaces polonais.
Il a aussi étudié la théorie des graphes et fourni une caractérisation des graphes planaires appelée théorème de Kuratowski.

Joseph Henry Maclagan Wedderburn

Le mathématicien écossais Joseph Henry Maclagan Wedderburn est né le 2 février 1882.
Après avoir exhibé des exemples de corps non commutatifs, il publie le théorème qui porte maintenant son nom : Tout corps fini est commutatif.
Je trouve ce théorème tout à fait remarquable pour deux raisons.
D'abord pour sa concision : on a rarement fait mieux dans l'économie de mots pour exprimer un résultat mathématique; il fallait sans doute un écossais pour y arriver.
Ensuite parce qu'il illustre bien comment les mathématiciens utilisent parfois des mots concrets du langage courant pour désigner leurs constructions abstraites.
L'expression "Tout corps fini est commutatif." peut faire penser à la loi du Talion : "Ton oeil sera sans pitié : vie pour vie, oeil pour oeil, dent pour dent, main pour main, pied pour pied." (Deutéronome, 19,21). Par contre on ne voit pas bien pourquoi un corps est deux fois un groupe, tout en étant aussi un anneau.

Charles Étienne Louis Camus

Le mathématicien et astronome français Charles Étienne Louis Camus est mort le 2 février 1768.
En 1736, il participe avec Pierre Louis Moreau de Maupertuis, Alexis Claude Clairaut et Pierre Charles Le Monnier à l'expédition de Laponie pour déterminer « la figure de la terre » : il s'agissait de comparer un degré de méridien mesuré entre Paris et Amiens à un degré de méridien mesuré en Laponie.
Il est aussi l'auteur d'un Cours de mathématiques qui sera longtemps utilisé et qu'on peut trouver sur Google-Livres.

Christophorus Clavius

Le savant jésuite allemand Christopher Clau dit Christophorus Clavius est mort le 2 février 1612.
Il est surtout connu pour avoir participé à l'établissement du calendrier grégorien.
En tant que mathématicien, il a rédigé en 1574 une version latine des éléments d'Euclide et fut surnommé l'Euclide du XVIe siècle.
Il a aussi écrit un livre d'algèbre en 1608, et fut le premier à utiliser le point décimal, ainsi que les symboles + et - en Italie.
Pour en savoir plus sur Clavius, on pourra consulter le livre "Clavius, une clé pour Euclide au XVIe siècle" de Sabine Rommevaux sur Google Livres ou en le commandant sur amazon.

Ludovico Ferrari

Le mathématicien italien Ludovico Ferrari est né le 2 février 1522.
Elève, puis collaborateur de Jérôme Cardan, il est célèbre pour avoir résolu l'équation du quatrième degré en la ramenant à une équation du troisième degré (voir Méthode de Ferrari).
Il n'a pas publié de livres mais Cardan a consigné ses résultats dans son "Ars Magna".