La page du mardi 8 septembre 2009

Idiomathique du jour

Un point n'a pas d'étendue, sauf pour les astigmathes.

Joseph Liouville

Le mathématicien français Joseph Liouville est mort le 8 septembre 1882.
Il a fondé le Journal de mathématiques pures et appliquées qui est encore publié de nos jours; on peut lire des numéros parus entre 1836 et 1934 sur Gallica.
Il a travaillé dans divers domaines des mathématiques, et s'est distingué en analyse complexe avec le théorème de Liouville (toute fonction entière bornée est constante) et en théorie des nombres où il fut le premier à prouver l'existence des nombres transcendants en utilisant les nombres de Liouville.
Le site Bibnum publie et analyse un compte-rendu des séances de l'Académie des Sciences qui contient une communication de Liouville "A propos de l'existence des nombres transcendants".

Percy John Heawood et le théorème des 4 couleurs

Le mathématicien britannique Percy John Heawood est né le 8 septembre 1861.
Il a consacré l'essentiel de ses travaux mathématiques au Théorème des quatre couleurs qui affirme qu'il est possible de colorier n'importe quelle carte géographique en n'utilisant que quatre couleurs différentes.
Ce théorème est particulièrement intéressant pour la façon dont il a été démontré. Conjecturé en 1852 par Francis Guthrie, Alfred Kempe en a proposé une démonstration en 1879; il a alors fallu attendre plus de 10 ans pour que Percy John Heawood montre qu'elle n'était pas correcte. Finalement, ce n'est qu'en 1976 que deux Américains Kenneth Appel et Wolfgang Haken, affirmèrent avoir démontré le théorème des quatre couleurs. Mais pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, il s'agissait d'une démonstration qui exigeait l'usage de l'ordinateur pour étudier 1478 cas critiques (plus de 1200 heures de calcul). Le problème de la validation du théorème est alors devenu le problème de la validation d'une part de l'algorithme d'exploration, d'autre part de sa réalisation sous forme de programme...
Les mathématiciens n'aiment pas beaucoup raconter cette histoire : une démonstration fausse qui ne dérange personne pendant 10 ans et finalement une démonstration acceptée à contre coeur car elle ne peut se passer de l'ordinateur.

Marin Mersenne et les nombres de Mersenne

Le moine français appartenant à l'ordre des Minimes, mais néanmoins mathématicien et philosophe, Marin Mersenne est né le 8 septembre 1588.
Il a laissé son nom aux nombres de Mersenne, nombres de la forme 2^p-1 avec p premier. Les plus petits nombres de Mersenne sont 3=2^2-1, 7=2^3-1, 31=2^5-1, 127=2^7-1 qui sont des nombres premiers. Mais 2047=2^11-1=23x89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.
Les nombres de Mersenne sont de bons candidats pour être nombres premiers. Le projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), projet de calcul partagé, où les volontaires téléchargent un logiciel client pour chercher les nombres premiers de Mersenne, a permis de trouver depuis 1996 des nombres premiers de taille considérable, c'est à dire s'écrivant avec des millions de chiffres.
Le 23 août 2008, GIMPS annonçait la découverte du 45ème nombre premier de Mersenne, le 6 septembre c'était le tour du 46ème; des vérifications sont actuellement en cours...
Parmi les livres qu'il nous a laissés, "Les questions théologiques, physiques, morales et mathématiques" est disponible sur le web.
Voici quelques-unes de ces questions :
Q.10 D'où vient que les romans et les autres livres qui ne traitent pas des sciences sont mieux vendus que les livres qui parlent des sciences et qui démontrent plusieurs choses utiles et nouvelles ?
Q.14 D'où vient que la plus grande partie des hommes préfèrent l'argent et le lucre à la science et à l'honnêteté ?
Q.16 La quadrature du cercle est-elle impossible ?
Q.17 A quoi servent les sections coniques et quel peut être leur usage ?

Grégoire de Saint-Vincent et ses quadratures

Le jésuite, mathématicien et géomètre de l'école belge Grégoire de Saint-Vincent est né le 8 septembre 1584.
Il est connu pour les travaux de calcul d'aire qu'il a présenté dans son ouvrage monumental "Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum". Il y propose quatre solutions du problème de la quadrature du cercle qui évidemment sont fausses. Mais on y trouve aussi une quadrature de l'hyperbole dans laquelle il met en évidence son comportement logarithmique :
"Si les abscisses d'une hyperbole équilatère croissent en progression géométrique, les aires des surfaces découpées entre l'hyperbole et son asymptote par les lignes ordonnées correspondantes croissent en progression arithmétique."
L'APMEP d'Aix-Marseille propose l'énoncé d'un problème présentant la méthode de Grégoire de Saint-Vincent pour la quadrature de l'hyperbole. (voir la page Problème sur la quadrature de l'hyperbole)