La base des bases

Lorsque l'on est mathématicien, informaticien ou ingénieur, la base binaire ou hexadécimale ne comporte aucun secret. Cependant lorsque l'on a fait une terminale L, que l'on est étudiant(e) en sciences du langage et que l'on a choisi l'option maths, calculer en base 4 n'a rien d'évident comme de se rappeler du cours de primaire sur la numération de position.
Depuis bien longtemps, on n'a plus besoin du concept de base pour comprendre 2 345 et pour faire une addition simple. Du moins on a oublié ce qu'était la base de la base 10 et la numération positionnelle.
Retour sur la base 10
Nous écrirons les nombres avec des séparateurs et nous les lirons dorénavant en commençant par la droite contrairement à ce que nous faisons usuellement.
2345 devient 2.3.4.5 et on lit le 5 puis le 4 puis le 3 puis le 2
La première place ( à gauche ) est celle des unités, ici c'est 5
Pour écrire des unités en base 10 il nous faut 10 caractères ( ce sont nos chiffres ):
  - Le premier pour indiquer qu'il n'y a pas d'unité, nous choisirons le caractère 0
  - puis 9 autres caractères pour comptabiliser, nous choisirons 1,2,3,4,5,6,7,8,9
En base 10, la deuxième place, ici occupée par 4 est celle des "10"aines, 10 est justement lié à la base dans laquelle on compte.
En se décalant encore vers la gauche d'un cran, la troisième place occupée par 3 est celle des "10x10" aines, donc des centaines.
On se décale encore vers la gauche, la dernière place ( ici) occupée par un 2 est celle des "10x10x10"aines que l'on appelle les milliers.
Ainsi par reconstruction additive de ce nombre, il correspond exactement à 3 unités + 4 dizaines + 3 centaines + 2 milliers !
Vous avez sans doute remarqué que les mêmes caractères sont utilisés pour la comptabilité des dizaines, des centaines et des milliers et que l'on peut poursuivre ces raisonnements pour des nombres contenant plus de chiffres et donc s'augmentant vers la gauche suivant le même principe.
  L'addition en base 10.

   C'est très simple lorsque l'on est à 9 unités et que l'on veut en ajouter 1 supplémentaire:
   - d'une part je n'ai plus de caractère à ma disposition pour indiquer 10 unités à la place des unités
   - d'autre part j'ai un moyen très simple de le faire en indiquant que :
   9 unités + 1 unité = 1.0  qui se lit " zéro unité + une "10"aine"
   C'est le principe "élémentaire" de la retenue, principe qui peut se reproduire sur les "10"aines, les "10x10" aines,   etc

L'exemple de la base 4

Nous allons reprendre les mêmes raisonnements:
Combien faut-il de caractères pour écrire un nombre en base 4 ?

Par analogie avec la base 10, il en faut 4: le 0 pour indiquer l'absence et 3 autres caractères 1,2,3.
Considérons le nombre 321 que l'on écrit 3.2.1 et qu'on lit à partir de la droite
Le 1 est à la place des unités
Le 2 est la place des "4"aines, 4 est lié à la base, nous sommes en base 4 !
Le 3 est à la place des "4x4"aines soit des "16"aines
Par reconstruction additive, on obtient la valeur de ce nombre dans notre bonne vieille base 10
3.2.1 en base 4 est égale à 1 unité + 2 "4"aines + 3 "16"aines soit 1+8+48= 57 en base 10
   Et l'addition en base 4 ?
  On utilise le même principe de retenue qu'en base 10, sauf qu'en base 4, le dernier caractère  permettant la comptabilité est 3, ainsi:
   3+1 = 1.0
  3+2 = 1.1
  3+3 = 1.2
  3+ 1.0 = 1.3
  3 +1.1 = 2.0 etc
Un autre exemple, celui de la base 12

Toujours par analogie avec la base 10, il faut 12caractères, le 0 pour l'absence, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 mais il manque 2 caractères, on ne peut pas utiliser 10 et 11 car il sont formés de plusd'un caractère et on perdrait le coté " positionnel " de notre numération.
Par exemple 101 pourrait se lire 1.0.1 ou 10.1 !
Nous allons donc utiliser les lettres de l'alphabet: le A correspondra au 10 et B au 11.
Ainsi le nombre 1.A.B correspondra à B ( 11 en fait ) unités + A ( 10 en fait ) "12"aines + 1 "12x12"aine soit 11+120+144 = 275 en base 10
    Et l'addition ?
   En base 12 : B+1= 1.0   !
Et pour vous aider dans votre travail, un petit convertisseur bien sympathique ( utiliser impérativement le pavé numérique ) : ICI
Vous pouvez par exemple, essayer de convertir un nombre donné en base 10 vers une base quelconque !
Par exemple convertir 121 en base 12 puis en base 5 puis en base 2 !
C'est à vous et on ne copie pas...