Il y a plusieurs infinités différentes

Ce billet pas si court peut être considéré comme faisant parti de ma serie de billets soulignant des fausses idées tenaces en science. Beaucoup de personnes estiment que la notion d’infini est homogène, je veux dire par là qu’ils pensent qu’il n’existe qu’un seul type d’infini. La vérité est plus subtile que ça. N’ayez pas peur, ce billet ne sera pas technique et se veut de donner une idée des choses la plus intuitive possible.

Mathématiquement, il existe une infinité d’infinis différents. Mais il en existe au moins deux qui sont assez naturels et faciles à expliquer. Prenez l’ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, …, 42, … Comme vous le savez, cet ensemble est infini, cést-à-dire que cette suite de nombre ne s’arrête jamais. On sait qu’il s’agit du plus petit infini possible. Prenez maintenant l’ensemble des nombres réels : 0; 0,1; 0,2; …; 1; …; 42,2346583; … Comme l’ensemble précédent, si on prend au hasard un nombre dans cet ensemble, on peut toujours trouver un nombre plus grand. Par contre, contrairement à l’ensemble des entiers naturels, si vous prenez deux nombres au hasard, disons a et b, vous aurez toujours des nombres i compris entre a et b : a < i < b. Même mieux, il y a une infinité de i !

En effet, dans l’ensemble des entiers naturels, si vous prenez 0 et 1, il n’existe aucun nombre entre eux. Dans l’ensemble des nombres réels, si vous prenez 0,1 et 0,2 il existe 0,15 entre eux. Si vous prenez 0,01 et 0,02, il existe 0,015. Ainsi de suite.

On peut dire qu’en quelque sorte, l’infinité du nombre des nombres réels est infiniment plus grand que l’infinité du nombre des entiers naturels…

Si vous avez mal à la tête, arrêtez-là. Sinon, bonus pour les autres :

On pense qu’il n’existe pas d’autres infinités situés entre ces deux là, donc que l’infinité des entiers naturels est la plus petite infinité possible (ça, on en est sûr) et que l’infinité des nombres réels vient juste après (on le pense, ça s’appelle l’hypothèse du continue). Quoi qu’il en soit, les infinités sont des notions difficiles à comprendre. Prenez par exemple tous les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, … Multipliez chaque nombre par deux, et vous obtenez 0, 2, 4, 6, … Il a été démontré que cet ensemble obtenu est aussi grand que l’ensemble de départ avec tous les entiers naturels !

Maintenant, je vous laisse à vos réflexions…

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