L'Arithmétique, une introduction ludique (volume 2)

Un livre de Jean-Pierre Lamoitier
Editeur : Hermann (février 2009 - 275 pages)
ISBN-10: 270566761X

L'arithmétique modulaire et ses applications

L'Arithmétique classique existe depuis l'Antiquité. Elle s'est développée au long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte. Gauss a beaucoup développé l'arithmétique modulaire notamment avec la notion de congruences, de résidu quadratique, etc., et a démontré de nombreuses propriétés dans ce domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline s'est développée sans aucune application concrète. La seconde moitié du XXe siècle a été caractérisée par l'arrivée de nombreuses applications dont la cryptographie et, dans une moindre mesure, les techniques de codes correcteurs d'erreurs qui sont maintenant très utilisés en transmission. Divers problèmes amusants se traitent assez facilement avec ces techniques. L'arithmétique modulaire est également utilisée pour démontrer des propriétés de l'arithmétique classique, ce qui explique certains liens entre les deux tomes qui se complètent. Les deux premiers chapitres ne font pas tout à fait partie de l'arithmétique modulaire : les entiers complexes et les fonctions arithmétiques. Le premier est destiné à montrer l'une des ouvertures possibles de l'arithmétique classique. En revanche certaines fonctions arithmétiques dont l'indicatrice de Gauss sont très utiles pour certaines démonstrations. Les dix-sept autres chapitres sont centrés sur l'arithmétique modulaire et ses applications. Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler et même rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en grande partie par la quasi- absence d'exemples et d'exercices. Pour ces raisons, l'auteur a délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique avec de nombreux exemples et exercices avec corrigés quitte à omettre des démonstrations trop longues ou trop difficiles. Une ouverture vers la cryptographie permet de comprendre l'intérêt de cette discipline.
Tome 1 : L'arithmétique classique.

Au sommaire
- Les entiers complexes
- Les fonctions arithmétiques
- Les congruences
- Congruence d'une puissance
- Les polynômes en arithmétique modulaire
- Résidus quadratiques
- Le symbole de Legendre
- Le symbole de Jacobi
- Ordre d'un élément
- Racine primitive
- Le logarithme discret
- Les équations du 1er degré
- Equations de degré 2
- Equations de degré supérieur à 2
- Les grands nombres premiers ou pseudo premiers
- La factorisation de grands nombres
- La construction de grands nombres premiers
- Ouverture vers la cryptographie
- Les processeurs d'arithmétiques modulaires
- A. Les nombres de Mersenne
- B. Les nombres de Fermat
- C. Les nombres de Carmichaël

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