Axel Thue et l'importance de l'inutile

Le mathématicien norvégien Axel Thue est mort le 7 mars 1922.
On lui doit un théorème sur les équations diophantiennes, mais aussi la co-découverte de l'étrange suite de Prouhet-Thue-Morse qui est apparue dans des contextes mathématiques très différents : théorie des nombres, combinatoire des mots, géométrie différentielle, jeu d'échecs.
Il s'agit d'une suite binaire qui commence par 01101001100101101001011001101001...
Elle a la propriété suivante : aucune séquence interne de chiffres n'est répétée trois fois dans la suite. Ainsi on n'a jamais trois 0 ou trois 1 de suite, ni trois 01 ou trois 10 de suite, ni trois 100 ou trois 101 ou trois 110 ou trois 111 ou trois 000 ou trois 001 ou trois 010 ou trois 011 de suite, etc...
Elle n'a donc aucune période et représente donc un certain désordre. Pourtant on peut la construire de manière très simple. C'est la suite définie par
u(0)=0, u(2n)=u(n) et u(2n+1)=1-u(n).
Une page du dictionnaire des nombres de Gérard Villemin est consacrée à cette suite et donne d'autres moyens de la construire. On y trouve les relations :
1 +4 +6 +7 = 2 +3 +5 +8
et
1²+4²+6²+7²= 2²+3²+5²+8²
qui bizarrement peuvent être retrouvées et généralisées avec la suite de Prouhet-Thue-Morse.
Citations :
- Plus une notion semble abstraite et dénuée d'applications pratiques, plus elle est importante.
- Il n'est pas nécessaire qu'un problème de maths ait des applications pratiques pour qu'il soit intéressant et il peut être très agréable pour l'esprit d'essayer de résoudre des questions apparemment futiles.