Cas particulier en math

Crédit photo : Steve Woods/SXC

Qui n'a jamais entendu parler de cas particulier en mathématiques? 

L'élève doit construire un triangle  ABC quelconque mais au lieu de cela il construit un beau triangle isocèle et le professeur de  lui rétorquer que c'est un "cas particulier" et qu'en mathématique on ne raisonne pas sur des cas particuliers.
Et cet autre élève qui voulant montrer une propriété générale, égraine quelques cas particuliers où celle-ci est vraie, n'accédant jamais à la généralité de la preuve.

Puis c'est au tour du professeur de faire une démonstration dans son cours et de la terminer avec quelques cas particuliers dont la mission principale est de rendre utilisable ( voir compréhensible) le fameux résultat démontré plus haut ou bien de l'éclairer par quelques exemples plus concrets.
Alors qu'est-ce qu'un cas particulier ?
Une source d'ombre lorsqu'on le prend pour le cas général ou de lumière lorsqu'il s'agit d'exemples d'une proposition abstraite?
J'ai donc cherché sur la toile "cas particulier en mathématiques" et ai été bien frustré de ne rien trouver ou presque ! Peut-être aurez-vous plus de chance que moi. Je me demande comment il est possible de ne pas se pencher sur le statut du "cas particulier", tellement ambivalent qu'il amène avec lui, selon le cas, confusion ou compréhension.

Cette ambivalence serait peut-être à rapprocher de celle de la variable tantôt exploitée pour son statut "indéterminé" tantôt pour son statut "variable", le premier la place en attente de valoir une valeur particulière, alors que le second la met en injonction d'être remplacée par n'importe quelle valeur. La variable est une boite vide à double casquette, qui d'un coté ne recevra qu'un contenu particulier alors que de l'autre elle pourra accueillir n'importe lequel.
On ne peut s'empêcher de mettre ces remarques sur la variable en rapport avec le statut du cas particulier qui d'un coté enferme par sa particularité alors que de l'autre il permet de projeter une propriété générale sur un nombre quasi-illimité de cas particuliers exemples éclairants et utilisables.

Alors pour conclure cette ébauche de réflexion, ne peut-on pas dire comme Antoine Culioli que:

La bonne compréhension est un cas particulier du malentendu