L’intelligence du calcul ( par Dominique Tournès)

Extraits d'une excellente conférence donnée en 2007 par Dominique Tournès, professeur des universités, directeur de l’IREM (institut de recherche en mathématiques) de la Réunion :
"...Faute de percevoir l’intelligence du calcul, on a trop souvent tendance à le réduire à une activité pauvre, répétitive et sans âme. Tant chez les maîtres que dans la culture commune, le calcul est fréquemment considéré comme la partie la moins noble des mathématiques, celle qui, ne nécessitant pas de réflexion, peut être automatisée et éventuellement déléguée à une machine. Parfois même, comme le calcul est aussi la partie la plus visible des mathématiques,l’homme de la rue confond mathématiques et calcul, ce qui fait que ce sont les mathématiques dans leur ensemble qui sont perçues comme une activité sans intelligence."
Plus loin:
"...La réduction du raisonnement et de la résolution de problèmes au calcul est une constante de l’activité mathématique. Par exemple, Descartes et Fermat ramènent la géométrie d’Euclide à des calculs dans un système de coordonnées et l’étude des courbes à celle de leurs équations.
Un peu plus tard, Newton et Leibniz ramènent les problèmes de longueurs, d’aires, de volumes et de centres de gravité à des calculs de primitives. Ainsi, la géométrie analytique et le calcul infinitésimal permettent de traiter systématiquement et de façon routinière de larges classes de problèmes là où, auparavant, il fallait, comme le faisait Archimède, inventer une méthode particulière pour chaque situation. Si le calcul évite souvent d’avoir à penser, en contrepartie, il atteint vite ses limites. Il est long, fastidieux, parfois inextricable. Aussi,inversement, un autre courant des mathématiques tend à remplacer le calcul par des raisonnements abstraits portant sur des objets de niveau supérieur. Pour reprendre l’exemple de la géométrie analytique, cette théorie, si prometteuse au départ, a buté rapidement sur l’obstacle de systèmes d’équations difficiles à résoudre ou dont la solution était difficile à interpréter. Cela a donné naissance à l’algèbre linéaire, une nouvelle façon synthétique d’aborder certains problèmes en évitant les calculs sur les coordonnées. Mais l’algèbre linéaire, à son tour, a engendré des calculs : le calcul vectoriel, le calcul matriciel ou le calcul barycentrique, qui ont permis à nouveau de remplacer certains raisonnements par des
procédures automatiques.
Les mathématiques sont ainsi une dialectique permanente entre deux tendances :
d’un côté, remplacer les raisonnements par des calculs,
de l’autre côté,remplacer les calculs par des raisonnements..."
le texte intégral de cette conférence (page 33 à 47)
Une vidéo de la conférence