Paul Erdös

Le mathématicien hongrois Paul Erdös est mort le 20 septembre 1996.
Chercheur très prolifique, il a publié, toutes disciplines confondues, plus de 1 500 articles de recherche. Ses domaines de prédilection étaient la théorie des graphes, la théorie des nombres et la combinatoire.
Voici deux problèmes posés par Erdõs trouvés sur le site des Récréations mathématiques de Diophante.
Problème 1 :
Quelle est la dimension maximale d'un sous-ensemble de nombres entiers (a_1,...,a_k) choisis parmi les entiers 1,2,...,n tels que a_i + a_j ne soit jamais un carré parfait (i et j quelconques y compris i=j). Par exemple si n=7 alors (1,4,6,7) est l'un des sous-ensembles recherchés.
Quelle est le sous-ensemble des 100 premiers nombres entiers qui a cette propriété avec le plus grand nombre possible d'éléments ?
Problème 2
Paul Erdös avait le goût des problèmes s'exprimant en quelques mots. Quoi de plus simple que cet énoncé : « n points distincts dans le plan. A partir de quelle valeur de n est-on certain de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? »
La réponse est n = 7 mais la démonstration difficile sort du domaine de nos récréations mathématiques.
Essayer de construire dans le plan six points dont trois quelconques sont toujours les sommets d'un triangle isocèle.